О единственности слабого решения смешанной задачи для интегро-дифференциального уравнения агрегации

Аннотация

В известной работе A. Bertozzi, D. Slepcev (2010) установлено существование и единственность решения смешанной задачи для уравнения агрегации $$u_t-\triangle A(x, u)+{\rm div}(u\nabla K \ast u)=0,$$ описывающего эволюцию колонии бактерий в ограниченной выпуклой области $\Omega$. В данной работе доказывается существование решения и единственность смешанной задачи для более общего уравнения $$\beta(x,u)_t={\rm div}(\nabla A(x,u)-\beta(x,u)G(u))+f(x,u).$$ Слагаемое $f(x,u)$ в уравнении моделирует процессы "рождения – уничтожения" бактерий. Класс интегральных операторов $G(v)$ достаточно широк и содержит, в частности, операторы свертки $\nabla K \ast u$. Векторное ядро $g(x,y)$ оператора $G(v)$ может иметь особенности. Доказательство единственности решения из работы A. Bertozzi, D. Slepcev опирается на факт сохранения "массы" $\int_\Omega u(x,t)dx=const$ бактерий и использует выпуклость области и свойства оператора сверки. Наличие в уравнении "неоднородности" $f(x,u)$ нарушает сохранение "массы". Предложенное в работе доказательство единственности пригодно для неоднородного уравнения, не использует выпуклость области $\Omega$.