Порядок ряда Дирихле с правильным распределением показателей в полуполосах

Аннотация

Изучаются ряды Дирихле $F(s) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n e^{\lambda_n s}$ с положительными и неограниченно возрастающими показателями $\lambda_n$. Предполагается, что последовательность показателей $\Lambda = \{ \lambda_n \}$ имеет конечную плотность. Пусть эта плотность равна $b$. При этом требуется, чтобы последовательность $\Lambda$ имела правильное распределение. Это понимается в следующем смысле: найдется положительная вогнутая функция $H$ из класса сходимости, такая, что $$|\Lambda(t) - bt| \le H(t) \quad (t > 0) \ldotp$$ Здесь $\Lambda(t)$ — считающая функция последовательности $\Lambda$. Показано, что если, кроме того, функция $H$ имеет не очень быстрый рост, то порядки функции $F$ по Ритту в любых замкнутых полуполосах, ширина каждой из которых не меньше $2 \pi b$, будут равны. При этом на близость и концентрацию точек $\lambda_n$ никаких требований не предъявляется. Соответствующий результат для открытых полуполос ранее был получен А.М. Гайсиным и Н.Н. Аиткужиной. Показано, что если ширина одной из двух полуполос меньше $2 \pi b$, то порядки по Ритту суммы ряда Дирихле в данных полуполосах не равны.