О качественных свойствах решений некоторых квазилинейных параболических уравнений, допускающих вырождение на бесконечности

Аннотация

Мы рассматриваем задачу Коши для квазилинейных параболических уравнений вида $\rho(x)u_t=\Delta u + g(u)|\nabla u|^2,$ где положительный коэффициент $\rho$ допускает вырождение на бесконечности, а коэффициент $g$ может быть непрерывной функцией, а может допускать степенные особенности не выше первой степени. Указанные нелинейности, называемые нелинейностями Кардара–Паризи–Жанга (или KPZ-нелинейностями), возникают в различных приложениях (в частности, в задачах о направленном росте полимеров и задачах помехоустойчивости). Кроме того, они представляют и самостоятельный теоретический интерес, поскольку содержат производную неизвестной функции во второй степени, а это — максимальный (предельный) показатель, при котором условия бернштейновского типа для соответствующей эллиптической задачи обеспечивают получение априорных $L_\infty$-оценок первых производных решения через $L_\infty$-оценку самого решения. Асимптотические свойства решений параболических уравнений с подобными нелинейностями исследовались и ранее, но только для случая равномерно параболической линейной части. Вырождение коэффициента $\rho$ (хотя бы и на бесконечности) качественно изменяет природу задачи, что и показывает исследование качественных свойств (классических) решений указанной задачи Коши. Мы находим условия на коэффициент $\rho$ и начальную функцию, гарантирующие следующее поведение указанных решений: существует такая (предельная) липшицева функция $A(t),$ что при любом положительном $t$ обобщенное сферическое среднее решения стремится к указанной липшицевой функции при стремлении радиуса сферы к бесконечности. Обобщенное сферическое среднее строится следующим образом: вначале к решению применяется некоторая монотонная функция, определяемая (как в регулярном, так и в сингулярном случае) только коэффициентом при нелинейности, а затем вычисляется среднее по $(n-1)$-мерной сфере с центром в начале координат (в линейном случае такое среднее закономерно обращается в классическое сферическое среднее). Для построения указанной монотонной функции применяется метод Бицадзе, позволяющий выражать решения исследуемых квазилинейных уравнений через решения некоторых полулинейных уравнений.