О некоторых линейных операторах на пространстве фоковского типа

Аннотация

При помощи зависящей от модулей переменных полунепрерывной снизу в ${\mathbb R}^n$ функции $\varphi$, растущей на бесконечности быстрее $a \ln (1 + \Vert x \Vert)$ для любого положительного $a$, определено гильбертово пространство $F^2_{\varphi}$ целых функций в ${\mathbb C}^n$. Оно представляет собой естественное обобщение классического пространства Фока. В заметке приведено альтернативное описание пространства $F^2_{\varphi}$ в терминах коэффициентов степенных разложений целых функций, составляющих его. Отмечены простейшие свойства воспроизводящих ядер в пространстве $F^2_{\varphi}$. Для оператора ортогонального проектирования из пространства $L^2_{\varphi}$ измеримых комплекснозначных функций $f$ в ${\mathbb C}^n $ таких, что $$ \Vert f \Vert_{\varphi}^2 = \int_{{\mathbb C}^n} \vert f(z)\vert^2 e^{- 2 \varphi (abs \, z)} \ d \mu_n (z) < \infty , $$ где для $z =(z_1, \ldots , z_n)$ $abs \, z = (\vert z_1 \vert, \ldots , \vert z_1 \vert)$, на его замкнутое подпространство $F^2_{\varphi}$ получено интегральное представление. Также получена интегральная формула для следа положительного линейного непрерывного оператора на пространстве $F^2_{\varphi}$. С её помощью найдены условия, при которых весовой оператор композиции на $F^2_{\varphi}$ является оператором Гильберта–Шмидта. Последние два результата обобщают соответствующие результаты Сей-Ичиро Уеки (Sei-Ichiro Ueki), изучавшего подобные вопросы для операторов в пространстве Фока.