Структура множества симметрий гиперболических систем лиувиллевского типа и обобщенные инварианты Лапласа

Аннотация

Статья посвящена гиперболическим системам, состоящим из $n$ уравнений в частных производных и допускающим драйверы симметрий (то есть дифференциальные операторы, которые переводят любую функцию одной из независимых переменных в симметрию соответствующей системы). Наличие драйверов симметрий является отличительным свойством уравнения Лиувилля и ему подобных систем. Композиция дифференциального оператора, коэффициенты которого лежат в ядре полной производной, и драйвера симметрий снова является драйвером симметрий. Доказано, что все множество драйверов симметрий с помощью вышеуказанных композиций порождается базисным набором, состоящим не более чем из $n$ драйверов симметрий, сумма порядков которых является минимальной из возможных. Также доказано, что если система допускает драйвер симметрий порядка $k-1$ и для нее корректно определены обобщенные инварианты Лапласа, то старший коэффициент драйвера симметрий лежит в ядре $k$-го инварианта Лапласа. Опираясь на это утверждение, мы можем, посчитав инварианты Лапласа системы, получить оценку снизу для минимальных порядков драйверов симметрий этой системы. Это позволяет нам проверить, можем ли мы гарантировать, что тот или иной набор драйверов является базисным.