О применении теорем сравнения к исследованию устойчивости с вероятностью 1 стохастических дифференциальных уравнений

Аннотация

Получены два результата, затрагивающие потраекторные свойства стохастических дифференциальных уравнений (далее — СДУ) с интегралом Стратоновича. Во-первых, доказаны теоремы сравнения для СДУ с интегралом Стратоновича относительно стандартного винеровского процесса, т.е. получены условия на коэффициенты СДУ при которых решение одного уравнения для фиксированной траектории винеровского процесса всегда находится выше или ниже решения другого уравнения для той же фиксированной траектории. При этом коэффициенты диффузии и сноса исследуемых уравнений могут быть различающимися. Во-вторых, на основе доказанных теорем сравнения были выведены условия устойчивости с вероятностью 1 возмущенных решений скалярных СДУ с интегралом Стратоновича относительно тривиального решения. Устойчивость с вероятностью 1 влечёт за собой устойчивость по Ляпунову для почти всех решений СДУ. Следует отметить, что для СДУ, как правило, рассматривается устойчивость в более слабых смыслах: по вероятности, $p$-устойчивость, экспоненциальная устойчивость. Используя формулу перехода между интегралами Ито и Стратоновича, справедливую при условии достаточной гладкости коэффициентов СДУ, эти результаты можно распространить на СДУ с интегралом Ито. Изложенный в работе подход основан на том, что решение СДУ можно представить в виде детерминированной функции от случайного аргумента, которая, в свою очередь, является решением цепочки обыкновенных дифференциальных уравнений со случайной правой частью. В силу того, что данная техника является потраекторной, представленные в работе результаты могут быть также переформулированы для детерминированных аналогов СДУ (уравнений с симметричными интегралами).