Метод Фурье для дифференциальных уравнений первого порядка с инволюцией и группы операторов

Аннотация

Изучается смешанная задача для дифференциального уравнения первого порядка с инволюцией. Она записывается с помощью дифференциального оператора с инволюцией, действующего в пространстве суммируемых с квадратом модуля на конечном промежутке функций. Строится преобразование подобия этого оператора в оператор, являющийся ортогональной прямой суммой оператора конечного ранга и операторов ранга 1. Методом исследования является метод подобных операторов. Теорема о подобии служит основанием для построения групп операторов, генератором которой является исходный оператор. Выписываются асимптотические формулы для групп операторов. Построенная группа позволяет ввести понятие слабого решения, а также описать слабые решения рассматриваемой задачи. Она служит для обоснования метода Фурье. Устанавливается почти периодичность ограниченных слабых решений. Доказательство почти периодичности основывается на полученном асимптотическом представлении спектра дифференциального оператора с инволюцией.