О голоморфной регуляризации сильно нелинейных сингулярно возмущенных задач

Аннотация

Метод голоморфной регуляризации, являющийся логическим продолжением метода С.А. Ломова, позволяет строить решения нелинейных сингулярно возмущенных начальных задач в виде сходящихся в обычном смысле рядов по степеням малого параметра. Сам метод основан на обобщении теоремы Пуанкаре о разложении: в регулярном случае решения голоморфным образом зависят от малого параметра, в сингулярном — такую зависимость наследуют первые интегралы. Возникшая в рамках метода регуляризации, С.А. Ломова концепция псевдоаналитического (псевдоголоморфного) решения сингулярно возмущенных задач, положила начало становлению аналитической теории сингулярных возмущений. Эта теория призвана уравнять в правах регулярную и сингулярную теории. В первом случае, при достаточно общих предположениях, получающиеся при решении задач ряды по степеням малого параметра, сходятся в обычном смысле, а во втором — в основном асимптотически. Яркий пример голоморфной зависимости решения дифференциального уравнения от параметра дает теорема Пуанкаре о разложении. В представленной работе метод голоморфной регуляризации будет применен к построению псевдоголоморфных решений сингулярно возмущенного уравнения первого порядка и тихоновской системы второго порядка.