О росте коэффициентов в полиномах Бернштейна для стандартного модуля на симметричном отрезке

Аннотация

Тематика работы связана с одним общим направлением теории аппроксимации, в рамках которого изучают скорость роста коэффициентов алгебраических полиномов при равномерных приближениях непрерывных функций. Важную роль здесь играют классические полиномы Бернштейна. Будет подробно исследован модельный пример полиномов Бернштейна для стандартного модуля, взятого на симметричном отрезке. Ставится вопрос о росте коэффициентов в этих полиномах при явной алгебраической записи по степеням независимой переменной. Выясняется, что в первых пятнадцати полиномах рост коэффициентов почти не наблюдается. Затем ситуация изменяется, и возникают коэффициенты экспоненциального роста. Внимание авторов уделено поведению максимального коэффициента, для которого найдена точная экспоненциальная асимптотика и установлены подходящие двусторонние оценки (см. теорему 2 ниже). Как следует из полученного результата, максимальный коэффициент растет со скоростью $2^{n/2}/\,n^2$, где $n$ — номер полинома Бернштейна. Показано, что схожим ростом обладают коэффициенты, «равноудаленные» от максимального (см. теорему 3). Группа самых «больших» коэффициентов располагается в центральной части изучаемых полиномов Бернштейна, а на краях коэффициенты оказываются достаточно малыми. Отдельно рассмотрен вопрос о поведении суммы модулей всех коэффициентов при увеличении номера полинома Бернштейна. Данная сумма допускает явное выражение, не вычисляемое в смысле обычных комбинаторных тождеств. На основе предварительно найденного рекуррентного соотношения удается получить точную асимптотику для суммы модулей всех коэффициентов и дать сопутствующие двусторонние оценки (см. теорему 4). Скорость роста суммы соответствует $2^{n/2}/\,n^{3/2}$. В конце статьи проведено сравнение этого результата с общей оценкой Рулье и поставлены новые задачи для изучения.