К задаче описания обобщенных инвариантных многообразий нелинейных уравнений

Аннотация

Обсуждается задача построения обобщенных инвариантных многообразий для нелинейных уравнений в частных производных. Обобщенным инвариантным многообразием для заданного нелинейного уравнения называется дифференциальная связь, совместная с линеаризацией этого уравнения. Фактически это понятие обобщает симметрию. Приведены примеры обобщенных инвариантных многообразий, полученных из симметрий. Однако существуют такие обобщенные инвариантные многообразия, которые не сводятся к симметриям, именно они представляют наибольший интерес. Такие обобщенные инвариантные многообразия позволяют эффективно строить пары Лакса, операторы рекурсии и частные решения интегрируемых уравнений. Изложен алгоритм построения обобщенного инвариантного многообразия для заданного уравнения. Дано полное описание обобщенных инвариантных многообразий порядка $(2,2)$ для уравнения Кортевега–де Фриза. Кратко изложен способ построения пары Лакса и оператора рекурсии с помощью обобщенного инвариантного многообразия. В качестве примера рассмотрено уравнение Кортевега–де Фриза.