О некоторых функциональных уравнениях в пространствах Шварца и их приложениях

Аннотация

В статье рассматриваются функциональные уравнения вида $$(B+r^{2}E)u(z)=0,$$ где $B~-$ постоянная комплексная матрица порядка $n$, $E~-$ единичная матрица порядка $n$, $z~-$ комплексная переменная, $r=|z|$, $u(z)~-$ искомая обобщенная вектор-функция, и для этого уравнения изучаются вопросы о существовании нетривиальных решений и нахождения многообразия всех решений из функциональных пространств $D'=D'(C,C^{n})-$ обобщенных вектор-функций и $S'=S'(C,C^{n})-$ пространство умеренно растущих обобщенных вектор-функций и решений, растущих на бесконечности не быстрее степенной функции. К изучению таких вопросов приводит задача о нахождении решений из пространства $S'$ комплексных систем уравнений первого порядка эллиптического типа. При изучении указанных вопросов важную роль играет утверждение о структуре обобщенных функций, носители которых содержатся в окружности. В этом утверждении дается явное представление обобщенных функций с носителем, принадлежащим окружности, причем это представление состоит из линейных комбинаций прямого произведения обобщенных периодических функций с $\delta$-функцией и ее производных. Процесс нахождения всех решений данного уравнения из пространства $D'$ состоит из трех этапов: в первом этапе, приведением матрицы $B$ к нормальной жордановой форме, данное уравнение расщепляется на одномерные уравнения; во втором этапе доказывается, что если матрица $B$ не имеет отрицательных и нулевых собственных значений, т.е. $\sigma(B)\cap(-\infty,0]=\varnothing$, где $\sigma(B)$ спектр матрицы $B$, то данное уравнение в пространстве $D'$ имеет только нулевое решение; в третьем этапе, в случае $\sigma(B)\cap(-\infty,0]\neq\varnothing$ находятся все решения этого уравнения из пространства $D'$. Множество всех решений данного уравнения из пространства $D'$, в зависимости от собственных значений матрицы $B$, будет либо нулевым, либо зависит от конечного числа произвольных $2\pi$ – периодических обобщенных функций одной переменной и конечного числа произвольных постоянных, причем количество этих функций и постоянных зависит от порядка решения; порядок решения мы должны задавать сами. Дается приложение для нахождения решений из пространства $S'$, в частности решений полиномиального роста, систем уравнений с частными производными эллиптического типа и переопределенных систем. Результаты, полученные в работе, можно использовать при исследовании задач о решениях, определенных во всей комплексной плоскости или полуплоскости, более общих линейных многомерных эллиптических систем и переопределенных систем уравнений с частными производными.