Операторные методы вычисления ляпуновских величин в задачах о локальных бифуркациях динамических систем

Аннотация

В работе рассматриваются задачи об основных сценариях локальных бифуркаций динамических систем. Изучаются системы, описываемые автономными дифференциальными уравнениями, дискретными уравнениями, а также неавтономными периодическими уравнениями. Предлагаются новые формулы для вычисления ляпуновских величин. Предлагаемые формулы получены на основе общего операторного метода исследования локальных бифуркаций и не требуют перехода к нормальным формам и использования теорем о центральном многообразии. Указанный метод позволил получить новые бифуркационные формулы для исследования основных сценариев локальных бифуркаций. В работе показано как эти бифуркационные формулы приводят к новым формулам для вычисления ляпуновских величин в задачах о бифуркациях положений равновесия, Андронова–Хопфа, удвоения периода, вынужденных колебаний и др. Основное внимание в статье уделено получению первой и второй ляпуновских величин. Предлагаемый подход позволяет получить ляпуновские величины и более высокого порядка. В качестве приложения полученных формул в статье проведен анализ основных сценариев локальных бифуркаций. Рассмотрены задачи о направленности бифуркаций, задачи об устойчивости возникающих решений, задачи о главных асимптотиках решений и др. В качестве иллюстрации приведено вычисление ляпуновских величин в задаче о бифуркации Андронова–Хопфа в системе Лэнгфорда и в задаче о бифуркации удвоения периода в модели Хенона.