Исследование поведения сингулярного интеграла с ядром Гильберта вблизи точки слабой непрерывности плотности

Аннотация

Рассматривается сингулярный интеграл с ядром Гильберта $$ I(\gamma_0)=\int\limits^{2\pi}_{0} \varphi(\gamma)\mathrm{ctg}\frac{\gamma-\gamma_0}{2} \,d\gamma, $$ плотность которого $\varphi(\gamma)$ есть непрерывная функция, заданная в интервале $[0, 2\pi]$, $\gamma_0~\in~[0, 2\pi]$, $\varphi(0)=\varphi(2\pi)$, и интеграл понимается в смысле главного значения. Принимается, что в окрестности фиксированной точки $\gamma = c$, $c\in(c^{-},c^{+})\subset[0, 2\pi]$, $c^{+}-c^{-}<1$, для плотности интеграла $\varphi(\gamma)$ справедливо представление $ {\varphi(\gamma)=\frac{\Phi(\gamma)}{\left(-\ln \sin^2 \frac{\gamma-c}{2}\right)^{\beta}},\, \gamma \in (c^{-},c^{+}),} $ где $\Phi(\gamma)$ – заданная функция, непрерывная в каждом из интервалов $[c^{-},c]$, $[c,c^{+}]$, с неравными, в общем случае, односторонними пределами $\Phi(c-0)$, $\Phi(c+0)$, $\beta$ – заданное число и $\beta>1$. Предполагается, что имеют место представления $ \Phi(\gamma)-\Phi(c\pm0)=\frac{\chi(\gamma)}{\left( -\ln \sin^2 \frac{\gamma-c}{2}\right)^{\delta}}, $ $ \chi'(\gamma)=\frac{\nu(\gamma)}{\left(-\ln \sin^2 \frac{\gamma-c}{2}\right)\tg\frac{\gamma-c}{2}}, $ где $\delta>0$ – заданное число, $\chi(\gamma)$, $\nu(\gamma)$ – заданные функции непрерывные в каждом из интервалов $[c^-, c]$, $[c, c^+]$, $\nu(c\pm0)=0$, $\Phi(c+0)$ берется при $\gamma > c$, $\Phi(c-0)$ – при $\gamma < c$. Доказано, что при выполнении вышеуказанных условий, справедливо представление \begin{align*} I(\gamma_0)-I(c)=& \frac{\Phi(c-0)-\Phi(c+0)}{(\beta-1)\left(-\ln\sin^2\frac{\gamma_0-c}{2}\right)^{\beta-1}} \\ &- \frac{U(c+0)-U(c-0)}{\tilde{\beta}(\tilde{\beta}-1)\left(-\ln\sin^2\frac{\gamma_0-c}{2}\right)^{\tilde{\beta}-1}} +\ldots,\quad \gamma_0\to c, \end{align*} $\tilde{\beta}=\beta+\delta$, $\beta>1$, $\delta>0,$ $U(c+0)-U(c-0)=\tilde{\beta}\left(\chi(c+0)-\chi(c-0)\right)$. Рассмотрен также случай $\beta=1$. Отличительной особенностью статьи является то, что в ней при установлении поведения рассматриваемого сингулярного интеграла вблизи точки слабой непрерывности его плотности не используется предположение о выполнении условия Гельдера в окрестности указанной точки для плотности интеграла или ее составляющей. Эта особенность позволит расширить круг возможных применений результатов статьи.