Оператор инвариантного дифференцирования и его применение для интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Аннотация

Предложен алгоритм интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) $n$-го порядка, допускающих $n$-мерную алгебру Ли операторов. Алгоритм базируется на представлении рассматриваемого уравнения через инварианты допускаемой алгебры Ли и применении оператора инвариантного дифференцирования (ОИД) специального вида. Показано, что для скалярных уравнений он эквивалентен известным методам понижения порядка. Изучена применимость метода к системам $m$ ОДУ $k$-го порядка, допускающим $km$-мерную алгебру Ли операторов. Получено условие на допускаемую алгебру Ли, при выполнении которого можно построить ОИД в специальном виде и понизить порядок рассматриваемой системы ОДУ. Такое условие является следствием существования нетривиальных решений системы линейных алгебраических уравнений, коэффициентами которой являются структурные константы алгебры Ли. Приведен алгоритм построения $(km-1)$-мерной алгебры Ли для редуцированной системы. Представленный подход применяется для интегрирования систем двух ОДУ второго порядка.