Оценки констант Харди–Реллиха для полигармонических операторов и их обобщений

Аннотация

Доказаны оценки снизу для функционалов, определяемых как максимальные константы в неравенствах типа Харди и Реллиха для полигармонических операторов порядка $m$ в областях евклидова пространства. В доказательствах существенно используются известное интегральное тождество О. А. Ладыженской и его обобщения. Для выпуклых областей установлены обобщения двух известных результатов, полученных в статье M. P. Owen, Proc. Royal Soc. Edinburgh, 1999 и в книге A. A. Balinsky, W. D. Evans, R. T. Lewis, The Analysis and Geometry of Hardy's Inequality, Springer, 2015. В частности, нами получено новое доказательство теоремы М. П. Оуэна для полигармонических операторов в выпуклых областях. Для случая произвольных областей мы доказываем универсальные оценки снизу констант в неравенствах для полигармонических операторов порядка $m$ с использованием произведения $m$ различных констант в неравенствах типа Харди. Это позволяет получить явные оценки снизу констант в неравенствах типа Реллиха в областях размерности два и три. В последнем разделе статьи приведены две открытых проблемы. Одна из них аналогична проблеме Е. Б. Дэвиса об оценках констант Харди сверху. Вторая проблема связана с сравнением констант в неравенствах типа Харди и типа Реллиха для операторов, определенных в трехмерных областях.