О коммутанте операторов дифференцирования и сдвига в весовых пространствах целых функций

Аннотация

Описываются линейные непрерывные операторы, действующие в счетном индуктивном пределе $E$ весовых пространств Фреше целых функций многих комплексных переменных и перестановочные в нем с системами операторов частного дифференцирования и сдвига. При сделанных предположениях коммутанты систем операторов дифференцирования и сдвига совпадают. Они состоят из операторов свертки, задаваемых произвольным линейным непрерывным функционалом на $E$. При этом не предполагается, что множество многочленов плотно в $E$. В топологическом сопряженном к $E$ пространстве $E'$ естественным образом вводится умножение. С ним алгебра $E'$ изоморфна упомянутому коммутанту с обычным умножением — композицией операторов. Этот изоморфизм является и топологическим, если $E'$ наделено слабой, а коммутант — слабо-операторной топологией. Отсюда следует, что множество многочленов от операторов дифференцирования плотно в коммутанте с топологией поточечной сходимости. Исследована также возможность представления операторов из коммутанта в виде дифференциальных операторов бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. Доказана автоматическая непрерывность линейных операторов, перестановочных со всеми операторами дифференцирования в весовом $\mathrm{(LF)}$-пространстве целых функций, изоморфном посредством преобразования Фурье–Лапласа пространству бесконечно дифференцируемых в многомерном вещественном пространстве функций с компактным носителем.