Об асимптотике решений одного класса линейных дифференциальных уравнений

Аннотация

В работе найден главный член асимптотики некоторой фундаментальной системы решений одного класса линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка $\tau y=\lambda y$ на бесконечности, где $\lambda$ — фиксированное комплексное число. При этом рассматривается специальный класс матриц типа Шина–Зеттла, и $\tau y$ — квазидифференциальное выражение, порожденное матрицей из этого класса. Накладываемые на первообразные коэффициентов квазидифференциального выражения $\tau y$ — т.е. на элементы соответствующей матрицы — условия не связаны с их гладкостью, а лишь обеспечивают определенный степенной рост на бесконечности этих первообразных. Таким образом, коэффициенты выражения $\tau y$ могут и осцилировать. К рассматриваемому классу, в частности, относится обширный класс дифференциальных уравнений произвольного (четного или нечетного) порядка с коэффициентами-распределениями конечного порядка. Используя известное определение произведения двух квазидифференциальных выражений с негладкими коэффициентами, в работе также предлагается метод, позволяющий получить асимптотические формулы для фундаментальной системы решений рассматриваемого уравнения в случае, когда левая часть этого уравнения представляется как произведение двух квазидифференциальных выражений. Полученные результаты применяются к спектральному анализу соответствующих сингулярных дифференциальных операторов. В частности, предполагая симметричность квазидифференциального выражения $\tau y$, по известной схеме определяется минимальный замкнутый симметрический оператор, порожденный этим выражением в пространстве интегрируемых с квадратом модуля по Лебегу функций на $[1,+\infty)$ (в гильбертовом пространстве ${\mathcal L}^2[1,+\infty)$), и вычисляются индексы дефекта этого оператора.