Асимптотика по параметру решения эллиптической краевой задачи в окрестности линии внешнего касания характеристик предельного уравнения

Аннотация

В ограниченной области $Q\subset\mathbb{R}^3$ с гладкой границей $\Gamma$ рассматривается краевая задача $$\varepsilon Au-\frac{ \partial u}{\partial x_3}=f(x),\quad u|_{\Gamma}=0.$$ Здесь $A$ — эллиптический оператор второго порядка, $\varepsilon$ — малый параметр. Предельным при $\varepsilon=0$ является уравнение первого порядка. Его характеристики — прямые, параллельные оси $Ox_3$. Относительно области $\overline{Q}$ предполагается, что характеристика либо пересекает $\Gamma$ в двух точках либо касается $\Gamma$ извне. Множество точек касания образует замкнутую гладкую кривую. В статье построена асимптотика при $\varepsilon\to 0$ решения исследуемой задачи в окрестности этой кривой. Для построения асимптотики используется метод согласования асимптотических разложений.