Об асимптотике основных состояний краевой задачи для уравнения $-\varepsilon \Delta_p u = a|u|^{q-2}u - b|u|^{\gamma-2}u$

Аннотация

В работе исследуется сингулярно возмущённая краевая задача Дирихле для уравнения $$ -\varepsilon \Delta_p u = a(x)|u|^{q-2}u - b(x)|u|^{\gamma-2}u, $$ где $\Delta_p$ — $p$-лапласиан, $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ --- ограниченная область, $1<p<q<\gamma<p^*$, $a,b\in L^\infty(\Omega)$,  $a(x)\geq0$, $b(x)\geq\sigma_b>0$, а $\varepsilon>0$ — малый параметр.   С помощью метода нелинейного отношения Рэлея вводятся два критических значения параметра, $\varepsilon^*$ и $\varepsilon_e^*$, связанные соответственно с многообразием Нехари и нулевым уровнем энергии. Доказывается, что при $\varepsilon>\varepsilon^*$ задача не имеет нетривиальных слабых решений, тогда как при $0<\varepsilon<\varepsilon_e^*$ существуют по крайней мере два положительных слабых решения. Одно из них является основным состоянием.   Основной асимптотический результат описывает поведение основных состояний при сингулярном пределе $\varepsilon\to0^+$. При дополнительном условии $a(x)\geq\sigma_a>0$ доказано, что любое семейство основных состояний $u_\varepsilon$ сходится по мере в $\Omega$ к явно заданной предельной функции $$ \bar u_0(x) = \left(\frac{a(x)}{b(x)}\right)^{\frac{1}{\gamma-q}}. $$ Более того, $u_\varepsilon\to\bar u_0$ сильно в $L^r(\Omega)$, $1\leq r<\gamma$, и $u_\varepsilon\rightharpoonup\bar u_0$ слабо в $L^\gamma(\Omega)$.