Об аналитических решениях линейного гомологического уравнения

Аннотация

Исследуются решения разностного
уравнения $f(x+\omega)-f(x)=g(x)$, в котором $x\in\mathbb{R}$ — переменная, $\omega\in (0,1)$ — заданное число, а $g$ — заданная аналитическая $1$-периодическая функция. Хорошо известно, что в случае, когда число $\omega$ диофантово (достаточно плохо приближается рациональными числами), то можно построить $1$-периодическое решение,
аналитическое в окрестности вещественной оси. Если $\omega$ рационально, то периодических решений в общем случае нет. Мы построили квазипериодическое аналитическое решение, которое в случае диофантовых $\omega$ распадается в сумму известного $1$-периодического решения и аналитической $\omega$-периодической функции. Можно сказать, что в случае чисел $\omega$, хорошо приближаемых рациональными, ряды Фурье каждого из этих двух слагаемых расходятся, но их сумма остается аналитической.