Операторы Эйлера бесконечного порядка в пространствах голоморфных функций и числа Стирлинга

Аннотация

Исследованы операторы Эйлера бесконечного порядка в пространстве $H(\Omega)$ всех функций, голоморфных на открытом множестве $\Omega$ в $\mathbb C^N$, с топологией равномерной сходимости на компактах в $\Omega$. В терминах их характеристических функций доказаны необходимые и достаточные условия для применимости данных операторов к $H(\Omega)$. Рассмотрен особый случай $\Omega=(\mathbb C\backslash\{0\})^N$. Изучена связь двух представлений оператора Эйлера, в которой существенную роль играют числа Стирлинга первого и второго рода. Она выражается с помощью ассоциированных функций, одна из которых является суммой интерполяционного ряда Ньютона. Из полученных результатов следует, что всякая целая функция экспоненциального типа 0 в $\mathbb C^N$ раскладывается в многомерный интерполяционный ряд Ньютона. Доказан многомерный вариант теоремы Вигерта — Ло. Показано, что в пространстве $H(\mathbb C^N)$ всех целых в $\mathbb C^N$ функций оператором Эйлера является любой оператор адамаровского типа в $H(\mathbb C^N)$, т.е. всякий линейный непрерывный в $H(\mathbb C^N)$ оператор, имеющий каждый моном своим собственным вектором.