Крупнозернистые состояния на ультрапроизведении вероятностных алгебр

Аннотация

Вероятностная алгебра, являющаяся некоторым аналогом вероятностного пространства, призвана описывать некоторую физическую систему. Если у нас есть априорное распределение, заданное точным состоянием на этой алгебре, и мы можем определить поведение системы в терминах этого состояния, то мы также можем сделать некоторый прогноз поведения системы. На практике же невозможно измерить все наблюдаемые величины на исходной алгебре, поэтому мы проводим лишь частичное измерение, то есть, мы измеряем наблюдаемые величины на некоторой подалгебре. Это измерение определяет уже другое состояние на этой подалгебре. Если полученное состояние продолжается на исходную алгебру и при этом не привносит дополнительной информации о поведении системы, то мы называем полученное состояние на исходной алгебре крупнозернистым.

В работе обсуждаются вопросы существования крупнозернистых состояний, называемых в работе $(\mathcal {B}, \omega)$–крупнозернистостью некоторого состояния, а также рассмотрены ультрапроизведения последовательностей вероятностных алгебр и состояний. В работе показано, что относительно введённого определения ультрапроизведение последовательностей вероятностных алгебр являются вероятностными алгебрами, обсуждаются вопросы существования в них условных математических ожиданий, крупнозернистых состояний и информации.