Ряды Фурье и дельта-субгармонические функции на открытом полукольце
Ключевые слова:
неограниченное открытое полукольцо, гармоническая мажоранта, дельта-субгармоническая функция, функции роста, коэффициенты Фурье.Аннотация
Рассматривается класс $SK(R)$ субгармонических функций на неограниченном открытом полукольце
$$D_+(R)=\{z:\,|z|>R,\ Im\,z>0\},$$ которые имеют на каждом полукольце
$$D_+(R_1,R_2)=\{z:\, R<R_1<|z|<R_2<\infty,\ Im\,z>0\}$$
положительную гармоническую мажоранту. Вводится класс $JS(R)$ субгармонических функций на $D_+(R)$, предельные значения которых на вещественной границе $D_+(R)$ неположительные. Получены некоторые свойства функций из классов $SK(R)$ и $JS(R)$. Класс $\delta S(R)$ дельта--субгармонических функций на $D_+(R)$ определяется как разность классов $SK(R)$ или $JS(R)$:
$$\delta S(R)=SK(R)-SK(R)=JS(R)-JS(R).$$ Для функции $v\in \delta S(R)$ вводится характеристика роста $T_R(r,v)$, отличающаяся от характеристик, используемых для функций, определённых на верхней полуплоскости. Она определяет рост функции в окрестности полуокружности $L_R=\{Re^{i\theta}:0\leq\theta\leq\pi\}$. Для произвольной функции роста $\gamma$ (неограниченной неубывающей положительной функции, определённой на вещественной полуоси $R_+=\{r:r>0\}$) мы определяем класс $\delta S_{L_R}(R,\gamma)\subset\delta S(R)$ дельта--субгармонических функций $v$ конечного $\gamma$--типа на $D_+(R)$ в окрестности полуокружности $L_R$ как
$$\displaystyle T_R(r,v)\leq A\gamma\left(\frac{B}{r-R}\right)$$ для всех $R<r<2R$ при некоторых положительных $A$ и $B$, зависящих от $v$, но не зависящих от $r$. Получены критерии принадлежности функции $v$ классу $\delta S_{L_R}(R,\gamma)$ в терминах её коэффициентов Фурье.
