О вырождающихся эллиптических операторах недивергентного вида в ограниченной области

Аннотация

В работе доказываются некоторые неравенства, в которых снизу оценивается норма значения эллиптического оператора недивергентного вида в ограниченной области со степенным вырождением вдоль всей границы. Подобные операторы ранее изучались в случае, когда они изначально задавались в дивергентной форме или приводились к такой форме. В отличие от этого, коэффициенты исследуемых нами операторов, в общем случае, недифференцируемы и их нельзя привести к дивергентному виду. Только в заключительной части работы с целью изучения разрешимости соответствующих дифференциальных уравнений допускается дифференцируемость коэффициентов оператора и изучается соответствующий сопряж\"енный оператор.

Сначала в работе изучаются вырождающиеся эллиптические операторы общего вида и для них доказывается неравенство, в котором сумма нормы значения оператора и норма самой функции с некоторым степенным весом в пространстве $L_2$ снизу оценивается через норму самой функции в весовом пространстве типа Соболева. Затем рассматривается случай, когда исследуемые эллиптические операторы являются слабо позитивными. Для таких операторов доказано неравенство, в котором снизу оценивается реальная часть скалярного произведения значения оператора и самой функции. В последнем разделе работы допускается, что слабо позитивные эллиптические операторы имеют сильное вырождение вдоль всей границы области. Для таких операторов, содержащих параметр $\lambda$, сначала доказывается неравенство, в котором норма значения оператора снизу оценивается через норму самой функции в основном функциональном пространстве, затем такое неравенство доказывается для сопряж```ённого оператора и как следствие выводится результат об однозначной разрешимости соответствующего дифференциального уравнения.

Разработанная в работе техника основана на распространении некоторых известных результатов для эллиптических операторов с постоянными коэффициентами на случай операторов с вырождением с помощью вспомогательных интегральных неравенств.