О вырождающихся эллиптических операторах недивергентного вида в ограниченной области
Ключевые слова:
эллиптический оператор, степенное вырождение, недивергентный вид, ограниченная областьАннотация
В работе доказываются некоторые неравенства, в которых снизу оценивается норма значения эллиптического оператора недивергентного вида в ограниченной области со степенным вырождением вдоль всей границы. Подобные операторы ранее изучались в случае, когда они изначально задавались в дивергентной форме или приводились к такой форме. В отличие от этого, коэффициенты исследуемых нами операторов, в общем случае, недифференцируемы и их нельзя привести к дивергентному виду. Только в заключительной части работы с целью изучения разрешимости соответствующих дифференциальных уравнений допускается дифференцируемость коэффициентов оператора и изучается соответствующий сопряжённый оператор.
Сначала в работе изучаются вырождающиеся эллиптические операторы общего вида и для них доказывается неравенство, в котором сумма нормы значения оператора и норма самой функции с некоторым степенным весом в пространстве $L_2$ снизу оценивается через норму самой функции в весовом пространстве типа Соболева. Затем рассматривается случай, когда исследуемые эллиптические операторы являются слабо позитивными. Для таких операторов доказано неравенство, в котором снизу оценивается реальная часть скалярного произведения значения оператора и самой функции. В последнем разделе работы допускается, что слабо позитивные эллиптические операторы имеют сильное вырождение вдоль всей границы области. Для таких операторов, содержащих параметр $\lambda$, сначала доказывается неравенство, в котором норма значения оператора снизу оценивается через норму самой функции в основном функциональном пространстве, затем такое неравенство доказывается для сопряж```ённого оператора и как следствие выводится результат об однозначной разрешимости соответствующего дифференциального уравнения.
Разработанная в работе техника основана на распространении некоторых известных результатов для эллиптических операторов с постоянными коэффициентами на случай операторов с вырождением с помощью вспомогательных интегральных неравенств.
Библиографические ссылки
М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд–во Ленингр. ун–та. 1980.
К.Х. Бойматов, С.А. Исхоков. О разрешимости и гладкости решения вариационной задачи Дирихле, связанной с некоэрцитивной билинейной формой // Тр. мат. инст. Стеклова 214, 107–134 (1997).
Н.И. Бриш, И.Н. Яшкина. Задача Дирихле для эллиптических уравнений с неограниченными младшими коэффициентами. II // Диффер. уравн. 6, 2021–2029 (1970).
Ю.В. Егоров. Лекции по уравнениям с частными производными. Дополнительные главы. М. Изд–во Московского ун–та. 1985.
С.А. Исхоков, А.Я. Куджмуродов. О вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов // Докл. Акад. наук, Рос. акад. наук. 403:2, 165–168 (2005).
С.А. Исхоков. Неравенство Гординга для эллиптических операторов с вырождением // Мат. заметки 87:2, 201–216 (2010).
Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. Функциональный анализ. М.: Наука. 1977.
Л.Д. Кудрявцев. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Тр. Мат. инст. Стеклова 55, 1–182 (1959).
