Степень устойчивости максимального члена ряда Дирихле

Аннотация

Изучается мера устойчивости максимального члена ряда Дирихле с положительными показателями, сумма которого представляет собой целую функцию. Для класса целых рядов Дирихле, определяемого некоторой выпуклой мажорантой роста, доказана теорема о количественной оценке степени эквивалентности (вне некоторого исключительного $c_{q}$–множества) логарифмов максимальных членов исходного ряда и измененного ряда Дирихле. Аналогичная задача для целых рядов Дирихле произвольного, сколь угодно быстрого роста, но без никакой количественной оценки степени устойчивости максимального члена, в конце 1990-х — начале 2000-х годов впервые изучалась А.М. Гайсиным. Им тогда был получен критерий устойчивости – эквивалентности логарифмов максимальных членов исходного и измененного ряда на асимптотическом множестве. Этот результат, как и соответствующие утверждения об устойчивости для рядов Дирихле, сходящихся только в некоторой полуплоскости, полученные А.М. Гайсиным и Т.И. Белоус, нашли полезные приложения в теории асимптотических свойств рядов Дирихле, а именно при доказательстве равенств типа Полиа. Рассматриваемая в настоящей статье постановка задачи об устойчивости актуальна с точки зрения ее приложений к проблеме о минимуме модуля, а также к другим близким задачам анализа и комплексной динамики.