Об условиях полноты системы корневых функций дифференциального оператора на отрезке с интегральными условиями

Аннотация

В работе исследованы условия полноты системы корневых функций (СКФ) оператора $L_U$, порожденного в пространстве $H=L_2(0,1)$ дифференциальным выражением
$$l(y)=-y''+qy \quad (q\in L_1(0,1))$$
и интегральными условиями
$$y^{(j-1)}(0)+(l(y),u_j)=0 \quad (u_j\in L_2(0,1),\ j=1,2).$$
Показано, что СКФ оператора $L_U$ полна в его области определения, если существуют два луча на верхней полуплоскости, таких, что при всех больших $\lambda$ из этих лучей характеристический определитель ограничен снизу функцией $\lambda^{m}e^{-|\mathrm{Im}\,\lambda|}$, $\displaystyle{m\geq\frac{1}{2}}$. Если оператор $L_U$ плотно определен, то для полноты СКФ в $H$ достаточно выполнения указанной оценки c любым $m\in \mathbb{R}$. Кроме того, получено интегральное представление для характеристического определителя в виде синус--преобразования некоторой функции $A$, которая выражается через $u_1$, $u_2$ и ядро оператора преобразования для уравнения $l(y)=\lambda^2y$. Используя указанное представление, найдены явные (в терминах функций $u_1$, $u_2$) условия полноты СКФ оператора $L_U$ в $H$ или $D(L_U)$.