О наилучшем приближении функций в пространстве Бергмана $B_{2}$

Аннотация

В работе изучаются экстремальные задачи, связанные с наилучшим полиномиальным приближением аналитических в единичном круге функций в гильбертовом пространстве Бергмана $B_2$. Найдены точные неравенства для наилучшего приближения произвольной аналитической в единичном круге функций $f\in B_2$ алгебраическими комплексными полиномами $p_n\in \mathcal{P}_n$ посредством усреднённого значения модуля непрерывности $\omega(f^{(r)},t)_{B_2}$ производной $r$-го порядка $f^{(r)}$ в пространстве $B_2$. Введён класс $W^{(r)}_2(\omega,\Phi)$ аналитических в единичном круге функций, усреднённое значение модуля непрерывности производной $f^{(r)}$ которых удовлетворяет неравенству $$\int\limits_{0}^{u}\omega^2(f^{(r)},t)_{B_2}\sin\frac{\pi}{u}t d t\leq \Phi^2(u), \qquad 0\leq u\leq 2\pi.$$ При определённых ограничениях на мажоранту $\Phi$ для введённого класса функций вычислены точные значения различных $n$-поперечников. При решении указанных задач используются методы решения экстремальных задач в нормированных пространствах и используется метод оценки $n$-поперечников, разработанный В.М.Тихомировым.