Об одном методе рациональных аппроксимаций интеграла типа Римана—Лиувилля на отрезке
Ключевые слова:
интеграл Римана-Лиувилля, рациональный интегральный оператор Фурье-Чебышёва, равномерная рациональная аппроксимация, асимптотические оценки, метод ЛапласаАннотация
Исследуются рациональные аппроксимации функций, задаваемых интегралом типа Римана—Лиувилля на отрезке $[-1,1]$ с плотностью, принадлежащей некоторым классам непрерывных функций. В качестве аппарата приближений выступает интеграл типа Римана—Лиувилля с плотностью, представляющей собой рациональный интегральный оператор Фурье—Чебышёва. Найдены оценки сверху приближений интеграла типа Римана—Лиувилля с ограниченной плотностью, зависящие от полюсов и положения точки на отрезке.
Отдельной задачей изучаются приближения интегралов типа Римана—Лиувилля с плотностью, являющейся функцией со степенной особенностью. Получены равномерные оценки сверху приближений с определенной мажорантой, зависящей от положения точки на отрезке. Найдено асимптотическое выражение этой мажоранты, зависящее от полюсов аппроксимирующей рациональной функции. Исследован случай, когда полюсы представляют собой некоторые модификации "ньюменовских" параметров. Устанавливаются оптимальные значения параметров, при которых приближения имеют наибольшую скорость убывания. Скорость наилучших рациональных аппроксимаций рассматриваемым методом является выше в сравнении с соответствующими полиномиальными аналогами.
