Об одном приложении интерполирующей функции Леонтьева в теории тригонометрически выпуклых функций
Ключевые слова:
субгармоническая функция, тригонометрически выпуклая функция, интегральное уравнение первого рода, сверточное уравнение, интерполирующая функция ЛеонтьеваАннотация
Исследуется связь $\rho$-тригонометрически выпуклых функций с классом субгармонических функций. Установленная связь используется для доказательства новых неравенств, характеризующих $\rho$-тригонометрически выпуклые функции и нахождения интегральных уравнений первого рода, которым удовлетворяют $\rho$-тригонометрические функции. При более детальной разработке этой темы появляется свёрточное интегральное уравнение
$$
h(\theta)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}h(\theta-u)d\sigma(u),
$$ где $\sigma$~--- конечная финитная мера. Результаты по теории этого уравнения излагаются следуя А.Ф.Леонтьеву, который изучал его в связи с теорией рядов Дирихле. Используя интерполирующую функцию Леонтьева, предлагаются дополнительные условия, гарантирующее, что непрерывное решение уравнения
\begin{equation*}
h(\theta)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}a_R(u)h(\theta-u)du
\end{equation*} при фиксированном $R$ будет $\rho$-тригонометрической функцией.
