Однопараметрические семейства конформных отображений неограниченных двусвязных многоугольных областей
Ключевые слова:
неограниченные двусвязные области, полигональные области, конформные модули, конформные отображения, формула Кристоффеля–Шварца, акцессорные параметры, однопараметрические семейства функций, параметрический метод, эллиптические функции, эллиптические интегралы, уравнение Левнера–КомацуАннотация
Мы предлагаем приближённый метод нахождения конформного отображения концентрического кольца на произвольную неограниченную двусвязную многоугольную область. Этот метод основан на идеях, связанных с параметрическим методом Лёвнера — Комацу. Мы рассматриваем гладкие однопараметрические семейства конформных отображений $\mathcal{F}(z,t)$ концентрических колец на двусвязные многоугольные области $\mathcal{D}(t)$, которые получаются из фиксированной неограниченной двусвязной многоугольной области $\mathcal{D}$ проведением конечного числа прямолинейных или, в общем случае, полигональных разрезов переменной длины; при этом мы не требуем монотонности семейства областей $\mathcal{D}(t)$. В интегральное представление для конформных отображений $\mathcal{F}(z,t)$ входят неизвестные (акцессорные) параметры. Мы находим дифференциальное уравнение в частных производных, которому удовлетворяют такие семейства конформных отображений, и выводим из него систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику акцессорных параметров при изменении параметра $t$ и динамику конформного модуля данной двусвязной области в зависимости от параметра $t$. Отметим, что в правые части полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений входят функции, которые являются скоростями движения концевых точек разрезов. Это позволяет полностью контролировать динамику разрезов, в частности, добиваться их согласованного изменения в случае, если в области $\mathcal{D}$ проводится более одного разреза. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие эффективность предложенного метода. Отметим, что предложенный в этой работе параметрический метод уже рассматривался нами для случая ограниченных двусвязных многоугольных областей.
