Об обратимости оператора Дюамеля в пространствах ультрадифференцируемых функций

Аннотация

Пусть $\Delta$ — отличный от точки отрезок или (открытый) интервал на вещественной прямой, содержащий точку $0$. В пространстве целых функций, реализующем посредством преобразования Фурье-Лапласа сопряженное к пространству ультрадифференцируемых или всех бесконечно дифференцируемых функций на $\Delta$, исследованы операторы из коммутанта одномерного возмущения оператора обратного сдвига. Доказан критерий их обратимости. При этом применяется теория Рисса-Шаудера, использование которой в подобной ситуации восходит к работам В.А. Ткаченко. В топологическом сопряженном к исходному пространству введено умножение $\circledast$ и показано, что с ним это сопряженное пространство, наделенное сильной топологией, является топологической алгеброй. С помощью отображения, сопряженного к преобразованию Фурье-Лапласа, введенное умножение $\circledast$ реализовано как обобщенное произведение Дюамеля в соответствующем пространстве ультрадифференцируемых или бесконечно дифференцируемых функций на $\Delta$. Доказан критерий обратимости оператора Дюамеля в этом пространстве. Умножение $\circledast$ использовано, чтобы распространить на классы ультрадифференцируемых функций формулу Дюамеля. Она представляет решение неоднородного дифференциального уравнения конечного порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющего нулевым начальным условиям в точке $0$, в виде произведения Дюамеля правой части и такого решения этого уравнения с правой частью, тождественно равной $1$. Полученные результаты охватывают как неквазианалитический, так и квазианалитический случай.