Прямые и обратные теоремы теории приближений в пространствах Лебега с весами Макенхаупта

Аннотация

В работе устанавливаются прямые и обратные теоремы теории приближений в пространствах Лебега $L_{p,w}$ с весами Макенхаупта $w$ на оси и на периоде. Классическое определение модуля непрерывности может не иметь смысла в весовых пространствах. Поэтому в качестве модулей непрерывности, в том числе нецелого порядка, используются нормы степеней отклонений средних Стеклова. Выводятся свойства этих величин, часть которых аналогична свойствам обычных модулей непрерывности. В добавление к прямым и обратным теоремам получены соотношения эквивалентности между модулями непрерывности и $K$ и $R$-функционалами. Доказательства основаны на оценках норм сверточных операторов и не используют максимальную функцию. Это позволяет установить результаты при всех $p\in[1,+\infty)$, не исключая случай $p=1$. Применявшиеся ранее методы, использовавшие в том или ином виде максимальную функцию, непригодны при $p\to1$. Кроме того, подход на основе сверток позволяет получить результаты одновременно в периодическом и непериодическом случае. Константы за редким исключением не указываются явно, но всегда контролируется их зависимость от параметров. Все константы в оценках зависят от $[w]_p$ (характеристики Макенхаупта веса $w$), а иная зависимость от $w$ и $p$ отсутствует. Нормы сверточных операторов оценены в терминах $[w]_p$ явно. Методы данной работы могут быть применены к доказательству прямых и обратных теорем в более общих функциональных пространствах.