О разрешимости одного класса нелинейных уравнений с малым параметром в банаховом пространстве

Аннотация

Исследована разрешимость одного класса нелинейных уравнений с малым параметром в банаховом пространстве. Исследование данного класса уравнений затруднено тем, что главная линейная часть уравнения не обратима. Для исследования разрешимости рассматриваемого класса уравнений применен новый метод, в котором сочетаются метод Понтрягина из теории автономных систем на плоскости и методы вычисления вращения векторных полей. При этом используется схема матричного представления расщепляемых операторов, известная в теории ветвления решений нелинейных уравнений. В отличие от метода Понтрягина не предполагается дифференцируемость нелинейного отображения и применяются методы вычисления вращения векторных полей. На основе предложенного метода сформулирована и доказана теорема об условиях разрешимости исследуемого класса нелинейных уравнений. В качестве приложения исследованы две периодические задачи для нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром – периодическая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в резонансном случае и периодическая задача для нелинейного эллиптического уравнения с необратимой линейной частью.