Об одном семействе комплексных прямых, достаточных для существования голоморфного продолжения непрерывных функций на границе области

Аннотация

Задача о голоморфном продолжении функций, заданных на границе области, в эту область является актуальной в многомерном комплексном анализе. Она имеет длинную историю, начиная с трудов Пуанкаре и Гартогса. В данной статье рассматриваются непрерывные функции, заданные на границе ограниченной области $D$ в $\mathbb C^n$, $n>1$, и обладающие обобщенным граничным свойством Морера вдоль семейства комплексных, пересекающих росток вещественно аналитического многообразия коразмерности $2$, лежащего вне границы области. Свойство Морера заключается в равенстве нулю интеграла от данной функции по пересечению границы области с комплексной прямой. Показано, что такие функции голоморфно продолжаются в область $D$. Для функций одного комплексного переменного свойство Морера, очевидно, не влечет голоморфного продолжения. Поэтому данную задачу нужно рассматривать лишь в многомерном случае $(n>1)$.