О некоторых функциональных уравнениях в пространствах Шварца и их приложениях
Ключевые слова:
функциональные уравнения, пространства Шварца, обобщенные функции с носителем на окружности.Аннотация
В статье рассматриваются функциональные уравнения вида (B+r^{2}E)u(z)=0, где B~- постоянная комплексная матрица порядка n, E~- единичная матрица порядка n, z~- комплексная переменная, r=|z|, u(z)~- искомая обобщенная вектор-функция, и для этого уравнения изучаются вопросы о существовании нетривиальных решений и нахождения многообразия всех решений из функциональных пространств D'=D'(C,C^{n})- обобщенных вектор-функций и S'=S'(C,C^{n})- пространство умеренно растущих обобщенных вектор-функций и решений, растущих на бесконечности не быстрее степенной функции. К изучению таких вопросов приводит задача о нахождении решений из пространства S' комплексных систем уравнений первого порядка эллиптического типа. При изучении указанных вопросов важную роль играет утверждение о структуре обобщенных функций, носители которых содержатся в окружности. В этом утверждении дается явное представление обобщенных функций с носителем, принадлежащим окружности, причем это представление состоит из линейных комбинаций прямого произведения обобщенных периодических функций с \delta-функцией и ее производных. Процесс нахождения всех решений данного уравнения из пространства D' состоит из трех этапов: в первом этапе, приведением матрицы B к нормальной жордановой форме, данное уравнение расщепляется на одномерные уравнения; во втором этапе доказывается, что если матрица B не имеет отрицательных и нулевых собственных значений, т.е. \sigma(B)\cap(-\infty,0]=\varnothing, где \sigma(B) спектр матрицы B, то данное уравнение в пространстве D' имеет только нулевое решение; в третьем этапе, в случае \sigma(B)\cap(-\infty,0]\neq\varnothing находятся все решения этого уравнения из пространства D'. Множество всех решений данного уравнения из пространства D', в зависимости от собственных значений матрицы B, будет либо нулевым, либо зависит от конечного числа произвольных 2\pi – периодических обобщенных функций одной переменной и конечного числа произвольных постоянных, причем количество этих функций и постоянных зависит от порядка решения; порядок решения мы должны задавать сами. Дается приложение для нахождения решений из пространства S', в частности решений полиномиального роста, систем уравнений с частными производными эллиптического типа и переопределенных систем. Результаты, полученные в работе, можно использовать при исследовании задач о решениях, определенных во всей комплексной плоскости или полуплоскости, более общих линейных многомерных эллиптических систем и переопределенных систем уравнений с частными производными.Загрузки
Опубликован
20.03.2018
Выпуск
Раздел
Статьи