Квантовые аспекты интегрируемости третьего уравнения Пенлеве и временное уравнение Шредингера с потенциалом Морса

Аннотация

В терминах решений уравнений изомонодромных деформаций для третьего уравнения Пенлеве выписано совместное решение трех линейных уравнений в частных производных. Первое из них есть квантовый аналог линеаризации одной из форм третьего уравнения Пенлеве, второе – аналог временного уравнения Шредингера, определяемого гамильтоновой структурой этого обыкновенного дифференциального уравнения, а третье – уравнение первого порядка, с коэффициентами, явно зависящими от решений третьего уравнения Пенлеве. Для автономной редукции третьего уравнения Пенлеве это совместное решение задает решения временного квантовомеханического уравнения Шредингера, эквивалентного временному уравнению Шредингера с известным потенциалом Морса. Данные решения одновременно удовлетворяют линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям с коэффициентами, явно зависящими от решений соответствующей классической автономной гамильтоновой системы. Показано, что условие глобальной ограниченности конструируемых решений уравнения Шредингера по пространственной переменной связано с определением этих решений классической гамильтоновой системы согласно варианту правила Бора–Зоммерфельда старой квантовой механики.