Случайные блуждания на прямой и алгебраические кривые

Аннотация

Данная работа посвящена исследованию на тему производящей функции времени первого достижения положительной полуоси при однородном дискретном целочисленном случайном блуждании на прямой. Найдены уравнения на искомую производящую функцию для нескольких случаев процесса с независимыми приращениями, а также в предположении фиксированной корреляции каждого следующего шага с предыдущим. Для соответствующих алгебраических кривых найден род и сделан вывод об их рациональности. Способ получения уравнений следующий: из рекуррентных соотношений на вероятности выводится система уравнений, после чего применение алгебраических методов, а именно результанта двух многочленов, позволяет исключить из нее все $"$лишние$"$ переменные и оставить одно уравнение. Для вычисления рода кривой используется широко применяемый в бирациональной геометрии кривых топологический $\delta$-инвариант особенностей: зная степень кривой и данную характеристику всех ее особенностей, можно вычислить ее род по известной формуле. Некоторые полученные кривые оказались рациональными, другие имеют род 1 и 2.