Первая краевая задача для уравнений, описывающих движение нелинейно-вязкоупругой жидкости в ограниченной области

Аннотация

Исследуется краевая задача для математической модели, описывающей установившееся изотермическое течение нелинейно-вязкоупругой жидкости с переменной вязкостью, зависящей от скорости сдвига, внутри ограниченной трехмерной (или двумерной) области с достаточно гладкой границей. Предполагается, что функция вязкости непрерывна и ограничена. Рассматриваемая модель представляет собой систему сильно нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка. На границе области течения ставится однородное краевое условие Дирихле, что соответствует стандартному условию прилипания жидкости на твердых стенках сосуда. Данная краевая задача рассматривается в слабой (обобщенной) постановке. Под слабым решением понимается пара функций «скорость-давление», удовлетворяющая уравнениям движения в смысле распределений. С помощью метода регуляризации посредством введения в уравнения членов с дополнительной вязкостью построено семейство вспомогательных аппроксимирующих задач. Дается интерпретация задач этого семейства в виде операторных уравнений с непрерывным нелинейным оператором, удовлетворяющим условию монотонности $\alpha$. На основе теоремы о разрешимости уравнений с $\alpha$-операторами доказано существование по крайней мере одного решения при любом положительном значении дополнительной вязкости. Выведены оценки норм решений, независящие от параметра дополнительной вязкости. Решение исходной краевой задачи получено как предел последовательности решений аппроксимирующих задач при стремлении дополнительной вязкости к нулю. Предельный переход осуществлен на основе известных результатов о компактности вложения пространств Соболева и теоремы Лебега о мажорируемой сходимости. Кроме того, в работе установлена оценка энергетического типа для векторной функции скорости.