Гиперболические дифференциально-разностные уравнения с нелокальными потенциалами общего вида

Аннотация

Для двумерного гиперболического дифференциально-разностного уравнения, рассматриваемого в полуплоскости, содержащего сумму дифференциального оператора и операторов сдвига по пространственной переменной, изменяющейся на всей вещественной оси, (или дифференциально-разностного уравнения с нелокальными потенциалами) построено трехпараметрическое семейство гладких решений. Все сдвиги в потенциалах по пространственной переменной – произвольные вещественные величины, никакие условия соизмеримости на них не накладываются. Это является наиболее общим случаем. В настоящее время достаточно полно исследованы эллиптические и параболические функционально-дифференциальные уравнения, и в частности, дифференциально-разностные уравнения. Цель настоящей работы – исследовать гиперболические дифференциально-разностные уравнения с операторами сдвига по пространственной переменной, которые, насколько нам известно, ранее не были изучены. Природа физических задач, приводящих к таким уравнениям, принципиально отличается от задач для классических уравнений математической физики. Для построения решений используется классическая операционная схема, согласно которой к уравнению формально применяются сначала прямое, а затем обратное преобразования Фурье. Однако, если в классическом случае применение преобразования Фурье приводит к исследованию полиномов относительно двойственной переменной, то в данном случае, с учетом того, что в образах Фурье оператор сдвига является мультипликатором, символ дифференциально-разностного оператора представляет собой уже не полином, а комбинацию степенной функции и тригонометрических функций с несоизмеримыми аргументами. Это привело к вычислительным трудностям и совершенно иным эффектам в решении. Вообще говоря, данная схема приводит к решениям в смысле обобщенных функций. Однако, в данном случае удается доказать, что полученные решения являются классическими. Доказана теорема о том, что если вещественная часть символа дифференциально-разностного оператора по пространственной переменной, входящего в уравнение, положительна, то построенные решения являются классическими. Приведены классы уравнений, для которых указанное условие выполнено. Получены соотношения, которым должны удовлетворять все коэффициенты и все сдвиги в уравнении, справедливость которых гарантирует требуемую положительность вещественной части символа дифференциально-разностного оператора в уравнении.