Групповая классификация и симметрийные редукции нелинейного трехмерного дробно-дифференциального уравнения аномальной диффузии

Аннотация

Работа посвящена изучению симметрийных свойств нелинейного трехмерного уравнения аномальной диффузии с дробной производной Римана-Лиувилля по времени. Для исследования применены методы современного группового анализа дифференциальных уравнений. Решена задача групповой классификации по коэффициенту диффузии, рассматриваемому как функция зависимой переменной. Показано, что для произвольной функции уравнение допускает семимерную алгебру Ли инфинитезимальных операторов, соответствующих группам переносов, вращений и растяжений. В отличие от симметрий уравнения с с производной целого порядка, не допускается преобразование переноса по времени. Кроме того, различаются коэффициенты группы растяжений. В случае степенной формы коэффициента допускаемая алгебра расширяется до восьмимерной дополнительным оператором группы растяжений. При двух конкретных значениях показателя степени алгебра расширяется до девятимерной либо одиннадцатимерной, при этом дополнительные допускаемые операторы соответствуют различным проективным преобразованиям. Для полученных алгебр Ли симметрий размерности от семи до девяти построены оптимальные системы подалгебр и выписаны анзацы соответствующих инвариантных решений различных рангов. Приведены общие формы записи инвариантных решений, удобные для симметрийной редукции при наличии дробной производной Римана-Лиувилля. Проведена симметрийная редукция на подалгебрах, позволяющих находить инвариантные решения ранга один. Приведены соответствующие обыкновенные дробно-дифференциальные редуцированные уравнения.