Уфимский математический журнал

К симметрийной классификации интегрируемых эволюционных векторных уравнений 3-го порядка

Максим Юрьевич Балахнёв — 2024-05-16

Представлены новые результаты в рамках симметрийной классификации интегрируемых эволюционных векторных уравнений 3-го порядка. Предложенная А.Г.~Мешковым и В.В.~Соколовым техника позволила найти 12 уравнений, удовлетворяющих необходимым условиям интегрируемости. Сделан краткий обзор, всех имеющихся на сегодняшний день уравнений рассматриваемого типа, а также даны пояснения вычислительных трудностей, не позволяющих завершить задачу классификации в общем виде.

Наложение разумных дополнительных ограничений на вид уравнений при проведении классификации дало возможность довести расчеты до конца. Найденные уравнения имеют несколько нетривиальных сохраняющихся плотностей, и поэтому, скорее всего, являются точно интегрируемыми. Доказательством интегрируемости могло бы служить представление Лакса или авто-преобразование Беклунда, однако их поиск – довольно трудоемкая задача, требующая убедительного мотива, например, прикладное значение какого-либо из уравнений.

Сценарий устойчивого перехода от изотопного тождественному диффеоморфизма тора к~косому произведению грубых преобразований окружности

Денис Алексеевич Баранов — 2024-05-16

В настоящей работе рассматриваются изотопные тождественному градиентно-подобные диффеоморфизмы двумерного тора. Модельным (простейшим) представителем в рассмотренном классе являются косые произведения грубых преобразований окружности. Мы покажем, что любой изотопный тождественному градиентно-подобный диффеоморфизм тора соединяется устойчивой (качественно не меняющей своих свойств при малых шевелениях) дугой с некоторым модельным диффеоморфизмом, являющимся косым произведением грубых преобразований окружности.

Случайные блуждания на прямой и алгебраические кривые

Станислав Владимирович Гришин — 2024-05-16

Данная работа посвящена исследованию на тему производящей функции времени первого достижения положительной полуоси при однородном дискретном целочисленном случайном блуждании на прямой. Найдены уравнения на искомую производящую функцию для нескольких случаев процесса с независимыми приращениями, а также в предположении фиксированной корреляции каждого следующего шага с предыдущим. Для соответствующих алгебраических кривых найден род и сделан вывод об их рациональности. Способ получения уравнений следующий: из рекуррентных соотношений на вероятности выводится система уравнений, после чего применение алгебраических методов, а именно результанта двух многочленов, позволяет исключить из нее все $"$лишние$"$ переменные и оставить одно уравнение. Для вычисления рода кривой используется широко применяемый в бирациональной геометрии кривых топологический $\delta$-инвариант особенностей: зная степень кривой и данную характеристику всех ее особенностей, можно вычислить ее род по известной формуле. Некоторые полученные кривые оказались рациональными, другие имеют род 1 и 2.

Задача о колебаниях системы струн на графе-звезде с нелинейным условием в узле

Маргарита Борисовна Зверева — 2024-03-15

В настоящей работе исследуется начально - краевая задача, описывающая колебательный процесс для струнной системы на геометрическом графе - звезде с условием гистерезисного типа в узле. Такого рода условие возникает из за установленного в узле ограничителя на перемещение струн. При этом предполагается, что ограничитель сам может двигаться в перпендикулярном к плоскости графа направлении. Пока ограничитель не соприкасается с узловой точкой струнной системы, выполняется условие трансмиссии (условие Кирхгофа). Как только происходит соприкосновение узловой точки с ограничителем, начинается их совместное движение. Получена формула представления решения, рассмотрена задача граничного управления колебательным процессом

Влияние условий Винклера--Стеклова на собственные колебания упругого весомого тела

Сергей Александрович Назаров — 2024-03-15

Рассмотрена спектральная задача для пространственной системы уравнений
теории упругости. На малых участках поверхности тела поставлены условия Винклера--Стеклова,
моделирующие пружинные крепления, а остальная часть границы свободна от внешних воздействий.
В нескольких случаях (варьируются относительная жесткость пружинок и их взаимное расположение)
построена асимптотика собственных частот колебаний тела. Разобраны частные случаи, сформулированы
открытые вопросы и обсуждены патологические ситуации, в которых спектр теряет привычные свойства.

Разрешимость нелинейных краевых задач для непологих изотропных оболочек типа Тимошенко нулевой главной кривизны

Самат Низаметдинович Тимергалиев — 2024-05-16

Изучается разрешимость краевой задачи для системы нелинейных
дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка
при заданных граничных условиях, описывающей состояние равновесия упругих непологих изотропных неоднородных оболочек с незакрепленными краями в рамках сдвиговой модели Тимошенко.
Краевая задача сводится к нелинейному операторному уравнению относительно обобщенных перемещений в соболевском пространстве, разрешимость которого устанавливается с
использованием принципа сжатых отображений.

Усреднение уравнений движения среды, состоящей из упругого материала и несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта

Алексей Станиславович Шамаев — 2024-05-16

Рассматривается начально-краевая задача,
описывающая движение двухфазной среды с периодической
структурой. Первая фаза такой среды состоит из изотропного
упругого материала, а вторая фаза --- из несжимаемой вязкоупругой
жидкости Кельвина-Фойгта.
Для поставленной задачи выводится соответствующая ей усредненная
задача, описывающая движение однородной вязкоупругой среды с памятью.
Находятся явные аналитические выражения
для коэффициентов и ядер сверток усредненных уравнений,
соответствующие случаю слоистой среды.

Inverse problem for the subdiffusion equation with fractional Caputo derivative

Ravshan Radjabovich Ashurov — 2024-05-16

The inverse problem of determining the right-hand side of the subdiffusion equation with the fractional Caputo derivative is considered. The right-hand side of the equation has the form $f(x)g(t)$ and the unknown is function $f(x)$. The condition $ u (x,t_0)= \psi (x) $ is taken as the over-determination condition, where $t_0$ is some interior point of the considering domain and $\psi (x) $ is a given function. It is proved by the Fourier method that under certain conditions on the functions $g(t)$ and $\psi (x) $ the solution of the inverse problem exists and is unique. An example is given showing the violation of the uniqueness of the solution of the inverse problem for some sign-changing functions $g(t)$. For such functions $g(t)$, we find necessary and sufficient conditions on the initial function and on the function from the over-determination condition, which ensure the existence of a solution to the inverse problem.

Inequalities for Meromorphic functions with Prescribed Poles

M.Y. Mir — 2024-03-15

For a rational function $P\in \mathcal{P}_n,$ Dewan et al.[J. Math Anal. Appl.\textbf{363(1),}(2010), 38-41] proved:
$$\bigg|zP'(z)+\dfrac{n\beta}{2}P(z)\bigg|\geq n\bigg|1+\dfrac{\beta}{2}\bigg|\min \limits_{z\in T_k}{|P(z)|}.$$
In this paper we prove some refinements of Bernstein-type inequalities for meromorphic functions with prescribed poles and restricted zeros. These results not only generalize some inequalities for rational functions but also improve as well as generalize some polynomial inequalities too.