Уфимский математический журнал

Интегральные неравенства, инвариантные при конформных преобразованиях

Ф.Г. Авхадиев — 2025-03-26

Пользуясь метрикой Пуанкаре, мы определяем конформно инвариантные интегралы для гладких финитных функций,
заданных в областях гиперболического типа на расширенной плоскости. Для этих интегралов, содержащих гиперболический радиус, гладкую функцию, ее градиент или лапласиан, рассматриваются конформно инвариантные аналоги неравенств типа Харди и Реллиха с константами, зависящими от области. Мы даем явные оценки констант, пользуясь числовыми характеристиками области, а именно, максимальными модулями области и геометрической константой, входящей в линейное гиперболическое изопериметрическое неравенство.

В статье нами доказаны несколько новых утверждений. В частности, обоснован критерий положительности констант для конечно-связных областей гиперболического типа и доказаны несколько интегральных неравенств, универсальных в том смысле, что эти неравенства не содержат неопределенных констант и справедливы в любой области гиперболического типа.

В начале статьи кратко изложены свойства гиперболического радиуса, а также описаны несколько родственных результатов. В частности, указаны результаты Шмидта, Оссермана, Фернандеса и Родригеса по гиперболическим изопериметрическим неравенствам и их применениям, дана формула Элстродта-Паттерсона-Салливана для критических показателей сходимости рядов Пуанкаре-Дирихле, а также приведен результат Карлесона и Гамелина по максимальным модулям области с равномерно совершенной границей.

Разные типы локализации собственных функций скалярных смешанных краевых задач в тонких многогранниках

С.А. Назаров — 2025-03-26

Построена асимптотика собственных пар смешанной краевой задачи для оператора Лапласа в тонком многограннике с параллельными сближенными основаниями и скошенными узкими боковыми гранями. На основаниях назначены условия Дирихле, а на боковых гранях --- условия Дирихле или Неймана, распределение которых по граням, а также углы наклона последних оказывают существенное влияние на поведение собственных функций при истончении области. Обнаружены ситуации, в которых собственные функции распределены вдоль всего многогранника и локализованы около его боковых граней или вершин. Результаты основаны на анализе спектра (точка отсечки, изолированные собственные числа, пороговые резонансы и пр.) вспомогательных задач в полуполосе и четверти слоя со скошенными торцом и боковыми сторонами соответственно. Сформулированы открытые вопросы, относящиеся как к спектральному, так и асимптотическому анализу.

Интерполяционные последовательности в плоском классе Привалова в круге

Е.Г. Родикова — 2025-03-26

В работе получено необходимое и достаточное условие на нули аналитических функций из плоских классов И.И.Привалова $\tilde{\Pi}_q$ $(0<q<1)$ в единичном круге $D=\{z\in \mathbb{C}: |z|<1\}$, расположенные в углах Штольца; решена задача свободной интерполяции в указанных классах при условии, что узлы интерполяции находятся в углах Штольца, а также решена задача интерполяции в плоских классах Привалова в круге на карлесоновских множествах.

Аттракторы модифицированной модели Кельвина — Фойгта с учетом памяти вдоль траекторий движения жидкости

М.В. Турбин — 2025-03-26

В работе доказывается существование траекторных и глобальных аттракторов для модифицированной модели Кельвина —Фойгта с учётом памяти вдоль траекторий движения жидкости. Доказательство основано на аппроксимационно-топологическом подходе к исследованию задач гидродинамики. А именно, на первом этапе приводятся необходимые функциональные пространства и даётся операторная трактовка рассматриваемой задачи. Затем вводится аппроксимационная задача и доказывается её разрешимость на конечном отрезке и на полуоси. Также при некоторых условиях на коэффициенты задачи устанавливаются экспоненциальные оценки решений, не зависящие от параметра аппроксимации. После чего на основе предельного перехода устанавливается существование слабого решения исходной задачи на полуоси. Затем определяется пространство траекторий рассматриваемой задачи, устанавливается корректность этого определения и доказывается теорема существования минимального траекторного и глобального аттракторов.

Bi-непрерывные полугруппы стохастической квантовой динамики

А.В. Уткин — 2025-03-26

Статья посвящена аспектам вывода уравнения динамики квантовой системы в процессе стохастической динамики. Изучаются условия, при которых последовательность случайных изменений волновой функции может аппроксимировать случайный диффузионный процесс в гильбертовом пространстве. Случайное изменение $|\psi_0\rangle\mapsto G_{t_N}\ldots G_{t_1}|\psi_0\>=|\psi_{t_N}\>$ ассоциируется с преобразованием распределения вектора $|\psi\rangle$, а также с изменением его характеристического функционала \linebreak $\varphi(v)={\mathbb{E}}\exp(i\operatorname{Re}\langle v|\psi\rangle)$. Для непрерывного случайного блуждания исследуются вопросы аппроксимации марковской полугруппы марковскими операторами дискретного случайного блуждания. Уделено особое внимание таким случаям, когда производная случайного оператора $F'(0)$ представляет собой неограниченный оператор. Однако рассмотрение ограничено случаем, когда марковские операторы случайных блужданий с операторами $G_t$ коммутируют между собой.

Характеристический функционал преобразуется марковским оператором сопряженного процесса, и в отличие от динамики волновой функции, имеет детерминированный характер, что позволяет опереться на развитую теорию полугрупп в банаховых пространствах. Самые показательные примеры — процесс непрерывного измерения, то есть измерения траекторий некоторой наблюдаемой, и случайное управление.

Global and blow-up solutions for a parabolic equation with nonlinear memory under nonlinear nonlocal boundary condition

A.L. Gladkov — 2025-03-26

In this paper we consider parabolic equation
with nonlinear memory and absorption
\begin{equation*}
u_t= \Delta u + a \int\limits_0^t u^q (x,\tau) \, d\tau - b u^m, \quad x \in \Omega,\quad t>0,
\end{equation*}
under nonlinear nonlocal boundary condition
\begin{equation*}
u(x,t) = \int\limits_{\Omega}{k(x,y,t)u^l(y,t)}\,dy, \quad x\in\partial\Omega, \quad t > 0,
\end{equation*}
and nonnegative continuous initial data. Here $a,$ $b,$ $q,$ $m,$ $l$
are positive numbers, $\Omega$ is a bounded domain in $\mathbb{R}^N,$
$N\geq1,$ with smooth boundary $\partial\Omega,$ $k(x,y,t)$ is a nonnegative continuous function defined for $x
\in \partial \Omega$, $y \in \overline\Omega$ and $ t \ge 0.$ We prove that each solution of the problem is global if
$\max (q,l) \leq 1$ or $\max (q,l) > 1$ and $ l < (m + 1)/2,$ $q \leq m.$
If $l>\max\{1, (p+1)/2\}$ and the function $k(x,y,t)$ is
positive for small $t,$ the solutions
blow up in finite time for large enough initial data. The obtained results improve previously established conditions for the existence and absence of global solutions.

Spectral and functional inequalities on antisymmetric functions

A. Laptev — 2025-03-26

We obtain a number of spectral and functional inequalities related to Schrödinger operators defined on antisymmetric functions. Among them are Lieb —Thirring and CLR inequalities. Besides, we find new constants for the
Sobolev and the Gagliardo — Nirenberg inequalities restricted to antisymmetric functions.