Уфимский математический журнал

Однопараметрические семейства конформных отображений неограниченных двусвязных многоугольных областей

2024-11-08T18:22:49+00:00

Мы предлагаем приближённый метод нахождения конформного отображения концентрического кольца на произвольную неограниченную двусвязную многоугольную область. Этот метод основан на идеях, связанных с параметрическим методом Лёвнера — Комацу. Мы рассматриваем гладкие однопараметрические семейства конформных отображений $\mathcal{F}(z,t)$ концентрических колец на двусвязные многоугольные области $\mathcal{D}(t)$, которые получаются из фиксированной неограниченной двусвязной многоугольной области $\mathcal{D}$ проведением конечного числа прямолинейных или, в общем случае, полигональных разрезов переменной длины; при этом мы не требуем монотонности семейства областей $\mathcal{D}(t)$. В интегральное представление для конформных отображений $\mathcal{F}(z,t)$ входят неизвестные (акцессорные) параметры. Мы находим дифференциальное уравнение в частных производных, которому удовлетворяют такие семейства конформных отображений, и выводим из него систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику акцессорных параметров при изменении параметра $t$ и динамику конформного модуля данной двусвязной области в зависимости от параметра $t$. Отметим, что в правые части полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений входят функции, которые являются скоростями движения концевых точек разрезов. Это позволяет полностью контролировать динамику разрезов, в частности, добиваться их согласованного изменения в случае, если в области $\mathcal{D}$ проводится более одного разреза. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие эффективность предложенного метода. Отметим, что предложенный в этой работе параметрический метод уже рассматривался нами для случая ограниченных двусвязных многоугольных областей.

О коммутанте системы операторов интегрирования в многомерных областях

2025-02-01T06:43:34+00:00

Описан коммутант системы операторов интегрирования в пространстве Фреше $H(\Omega)$ всех функций, голоморфных в полизвездной относительно точки 0 области
$\Omega$ в $\mathbb C^N$. Такой областью является, в частности, произведение областей в $\mathbb C$, звездных относительно нуля, всякая полная область Рейнхарта с центром в точке 0.
Как и в одномерном случае, операторы из коммутанта являются операторами Дюамеля. Показано, что $H(\Omega)$
с произведением Дюамеля $\ast$ является ассоциативной и коммутативной топологической алгеброй. Она топологически изоморфна коммутанту с умножением~--- композицией операторов и с
топологией ограниченной сходимости. Получено аналогичное одномерному представление произведения $f\ast g$ в виде суммы, содержащей одно слагаемое, кратное $f$,
и слагаемые с интегралами хотя бы по одной переменной от функции, не зависящей от производных $f$.
С помощью этого представления доказан критерий $\ast$--обратимости функции из $H(\Omega)$ и соответствующего ей оператора свертки.
Установлено, что алгебра $(H(\Omega), \ast)$ является локальной.
В случае, когда область $\Omega$ дополнительно выпуклая, в двойственной ситуации получен критерий обратимости оператора из коммутанта системы операторов частного обратного сдвига.

Об одном приложении интерполирующей функции Леонтьева в теории тригонометрически выпуклых функций

2024-07-09T18:50:59+00:00

Исследуется связь $\rho$-тригонометрически выпуклых функций с классом субгармонических функций. Установленная связь используется для доказательства новых неравенств, характеризующих $\rho$-тригонометрически выпуклые функции и нахождения интегральных уравнений первого рода, которым удовлетворяют $\rho$-тригонометрические функции. При более детальной разработке этой темы появляется свёрточное интегральное уравнение
$$
h(\theta)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}h(\theta-u)d\sigma(u),
$$ где $\sigma$~--- конечная финитная мера. Результаты по теории этого уравнения излагаются следуя А.Ф.Леонтьеву, который изучал его в связи с теорией рядов Дирихле. Используя интерполирующую функцию Леонтьева, предлагаются дополнительные условия, гарантирующее, что непрерывное решение уравнения
\begin{equation*}
h(\theta)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}a_R(u)h(\theta-u)du
\end{equation*} при фиксированном $R$ будет $\rho$-тригонометрической функцией.

О скорости сходимости в эргодической теореме для некоторых статистически усредняющих последовательностей в $\mathbb{R}$

2024-05-14T04:31:06+00:00

В работе рассматриваются два вида усреднений унитарного представления группы $\mathbb{R},$ построенных по некоторым последовательностям вероятностных мер на $\mathbb{R}.$ Первая последовательность мер обобщает равномерное распределение. Меры из этой последовательности имеют плотности в виде свертки конечного числа индикаторов отрезка. Вторая последовательность определяется экспоненциальным убыванием преобразования Фурье. Для таких усреднений получены оценки скорости сходимости по норме, зависящие от особенности спектральной меры унитарного представления в окрестности нуля и асимптотики последовательности преобразований Фурье усредняющих вероятностных мер. При этом максимальные возможные скорости являются степенными с показателем ${m>1}$ и экспоненциальными соответственно, что значительно лучше максимальной скорости сходимости в классической эргодической теореме фон Неймана.

Об одном методе рациональных аппроксимаций интеграла типа Римана—Лиувилля на отрезке

2024-05-22T06:00:22+00:00

Исследуются рациональные аппроксимации функций, задаваемых интегралом типа Римана—Лиувилля на отрезке $[-1,1]$ с плотностью, принадлежащей некоторым классам непрерывных функций. В качестве аппарата приближений выступает интеграл типа Римана—Лиувилля с плотностью, представляющей собой рациональный интегральный оператор Фурье—Чебышёва. Найдены оценки сверху приближений интеграла типа Римана—Лиувилля с ограниченной плотностью, зависящие от полюсов и положения точки на отрезке.

Отдельной задачей изучаются приближения интегралов типа Римана—Лиувилля с плотностью, являющейся функцией со степенной особенностью. Получены равномерные оценки сверху приближений с определенной мажорантой, зависящей от положения точки на отрезке. Найдено асимптотическое выражение этой мажоранты, зависящее от полюсов аппроксимирующей рациональной функции. Исследован случай, когда полюсы представляют собой некоторые модификации "ньюменовских" параметров. Устанавливаются оптимальные значения параметров, при которых приближения имеют наибольшую скорость убывания. Скорость наилучших рациональных аппроксимаций рассматриваемым методом является выше в сравнении с соответствующими полиномиальными аналогами.

Homogenization of attractors to reaction-diffusion equations in domains with rapidly oscillating boundary: supercritical case

2025-01-16T05:40:53+00:00

This paper is devoted to studying the reaction-diffusion systems with rapidly oscillating coefficients in the equations and in boundary conditions in domains with locally periodic oscillating boundary; on this boundary a Robin boundary condition is imposed. We consider the supercritical case, when the homogenization changes the Robin boundary condition on the oscillating boundary is to the homogeneous Dirichlet boundary condition in the limit as the small parameter, which characterizes oscillations of the boundary, tends to zero. In this case, we prove that the trajectory attractors of these systems converge in a weak sense to the trajectory attractors of the limit (homogenized) reaction-diffusion systems in the domain independent of the small parameter. For this aim we use the homogenization theory, asymptotic analysis and the approach of V.V.Chepyzhov and M.I.Vishik concerning trajectory attractors of dissipative evolution equations. The homogenization method and asymptotic analysis are used to derive the homogenized reaction-diffusion system and to prove the convergence of solutions. First we define the appropriate auxiliary functional spaces with weak topology, then, we prove the existence of trajectory attractors for these systems and formulate the main Theorem. Finally, we prove the main convergence result with the help of auxiliary lemmas.

Nonlinear integrable lattices with three independent variables

2025-02-05T05:17:06+00:00

We suggest an algorithm for deriving nonlinear integrable equations of the form
$$u^{j+1}_{n,x}=F(u^{j}_{n,x},u^{j+1}_{n},u^{j}_{n+1},u^{j}_{n},u^{j+1}_{n-1})$$
with three independent variables; the algorithm uses the known list of Toda type integrable equations. The algorithm is based on the Darboux integrable finite field reductions, construction of a complete set of characteristic integrals and dicretization via integrals.

Asymptotic representation of hypergeometric Bernoulli polynomials of order 2 inside domains related to the roots of $e^w-1-w=0$

2024-06-01T07:58:59+00:00

Among several approaches towards the classical Bernoulli polynomials $B_n(x)$, one is the definition by the generating function

\begin{equation*}

\frac{we^{xw}}{e^w-1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_{ n}(x)\frac{w^n}{n!} \quad \text{for}\quad |w|<2\pi.

\end{equation*}

As a generalization of $B_n(x)$, for any positive integer $N$, a new class of Bernoulli polynomials called Hypergeometric Bernoulli polynomials of order $N$, $B_n(N, x)$ was established. For the particular case $N=2$ these polynomials are given by

\begin{equation*}%\label{Defn-HBPgf2}

\frac{1}{2}\frac{w^2e^{xw}}{e^w-1-w}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_n(2,x) \frac{w^n}{n!}\quad \text{for}\quad |w|<2\pi.

\end{equation*}

Several asymptotic formulas for the Bernoulli and Euler polynomials inside different domains related to the roots of $\phi(w)=e^w-1$ were found.

In this paper, we consider an integral representation for $B_n(2,x)$ and establish a zero attractor for the re-scaled polynomials $B_n(2,nx)$ for large values of $n$. We briefly discuss some analogous asymptotic formulas of $B_n(2,x)$ inside domains related to the roots of $\varphi(w)=e^w-1-w$.

Krause mean processes generated by cubic stochastic matrices with positive influences

2025-03-18T21:26:00+00:00

The Krause mean process serves as a comprehensive model for the dynamics of opinion exchange within multi-agent system wherein opinions are represented as vectors. In this paper, we propose a framework for opinion exchange dynamics by means of the Krause mean process that is generated by a cubic doubly stochastic matrix with positive influences. The primary objective is to establish a consensus within the multi-agent system.

Integration of loaded nonlinear Schrödinger equation in class of fast decaying functions

2024-07-12T11:32:57+00:00

We show that the inverse scattering transform technique can be applied to obtain the time dependence of scattering data of the Zakharov—Shabat system, which is described by the loaded nonlinear Schrödinger equation in the class of fast decaying functions. In addition we prove that the Cauchy problem for the loaded nonlinear Schrödinger equation is uniquely solvable in the class of rapidly decreasing functions. We provide the explicit expression of a single soliton solution for the loaded nonlinear Schrödinger equation. As an example, we find the soliton solution of the considered problem for an arbitrary non--zero continuous function $\gamma(t).$