Уфимский математический журнал

О метризуемости некоторых специальных функций

2024-12-31T06:47:44+00:00

Исследуются обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, которым удовлетворяют следующие специальные функции: функция Бесселя, гипергеометрическая функция, эллиптическая функция Вейерштрасса. Доказано, что все эти уравнения являются метризуемыми, в явном виде построены соответствующие метрики. Доказано, что во всех вышеперечисленных случаях уравнения геодезических допускают линейный по импульсам первый интеграл.

О степени гладкого отображения между орбифолдами

2024-09-26T16:52:38+00:00

В настоящей работе развивается теория степени для собственных отображений между гладкими орбифолдами одинаковой размерности. Определение степени для указанных отображений введено Паскотто и Ротом (2020). Нами предложено новое, более простое определение степени собственных отображений между гладкими ориентированными орбифолдами одинаковой размерности, и показано, что оно эквивалентно определению Паскотто и Рота. Используя новый подход, нами установлена связь между степенью отображения и интегрированием внешних форм на орбифолдах, что важно для физических приложений. Нами получена интегральная формула для степени отображения между орбифолдами, которая является обобщением соответствующей формулы для многообразий. Выявлена специфика степени отображения для компактных орбифолдов.

Эквивалентные условия усиленной неполноты системы экспонент

2025-05-30T09:36:12+00:00

Изучаются интерполяционные последовательности в смысле Павлова — Коревара — Диксона ($\Omega$-интерполяционные последовательности) и обобщения, а также аппроксимативные свойства систем экспонент с соответствующими показателями. Так, представляет интерес интерполяционная задача в классе целых функций экспоненциального типа, определяемом некоторой возрастающей мажорантой из класса сходимости (неквазианалитическим весом). В более узком классе, когда мажоранта обладала свойством вогнутости аналогичная задача в 1978 году была полностью решена Б. Берндсоном, но в случае, когда узлы интерполяции — натуральные числа. Он получил критерий разрешимости данной интерполяционной задачи. Соответствующий критерий для произвольной возрастающей последовательности положительных узлов недавно был получен Р.А. Гайсиным. Он же в 2021 году доказал соответствующий критерий интерполяционности ($W$-интерполяционности) в случае произвольного неквазианалитического веса. Как и в работах А.И. Павлова, Дж. Коревара и М. Диксона нами была обнаружена тесная связь между интерполяционностью последовательностей и проблемой Макинтайра. Было также показано, что если последовательность вещественных чисел $\Omega$-интерполяционная, то соответствующая система экспонент усиленно не полна (минимальна) относительно прямоугольников (в случае $W$-интерполяционности усиленная неполнота (минимальность) имеет место относительно вертикальных полос). Однако условия $\Omega$-интерполяционности, предложенные А.М. Гайсиным в 1991 году, оставляли чувство неудовлетворенности из--за того, что они были недостаточно наглядными.

Об условиях полноты системы корневых функций дифференциального оператора на отрезке с интегральными условиями

2025-08-22T07:14:16+00:00

В работе исследованы условия полноты системы корневых функций (СКФ) оператора $L_U$, порожденного в пространстве $H=L_2(0,1)$ дифференциальным выражением
$$l(y)=-y''+qy \quad (q\in L_1(0,1))$$
и интегральными условиями
$$y^{(j-1)}(0)+(l(y),u_j)=0 \quad (u_j\in L_2(0,1),\ j=1,2).$$
Показано, что СКФ оператора $L_U$ полна в его области определения, если существуют два луча на верхней полуплоскости, таких, что при всех больших $\lambda$ из этих лучей характеристический определитель ограничен снизу функцией $\lambda^{m}e^{-|\mathrm{Im}\,\lambda|}$, $\displaystyle{m\geq\frac{1}{2}}$. Если оператор $L_U$ плотно определен, то для полноты СКФ в $H$ достаточно выполнения указанной оценки c любым $m\in \mathbb{R}$. Кроме того, получено интегральное представление для характеристического определителя в виде синус--преобразования некоторой функции $A$, которая выражается через $u_1$, $u_2$ и ядро оператора преобразования для уравнения $l(y)=\lambda^2y$. Используя указанное представление, найдены явные (в терминах функций $u_1$, $u_2$) условия полноты СКФ оператора $L_U$ в $H$ или $D(L_U)$.

Обобщения условий Линделёфа для распределения корней целых функций

2025-07-11T13:27:47+00:00

Условие Линделёфа — первый пример нерадиального условия на распределение корней целых функций конечного целого порядка. Дальнейшее его развитие использовано в классической теореме Рубела — Тейлора. В ней также в качестве тестовых функций используются целые отрицательные степени комплексной переменной. Мы обобщаем условие Линделёфа, заменяя тестовые степенные функции на любые гармонические функции на концентрических кольцах. В частности, из этого обобщения легко получаем необходимость условий Линделёфа и в теореме Рубела — Тейлора.

Уравнение свертки в пространстве быстро убывающих функций на неограниченном выпуклом множестве ${\mathbb R}^n$

2025-09-01T16:46:44+00:00

В работе изучается проблема разрешимости уравнения свертки (в частности, дифференциально-разностного уравнения) в пространстве Шварца на неограниченном выпуклом множестве ${\mathbb R}^n$.

Задача Абеля-Гончарова в ядре оператора свертки

2025-03-24T06:16:43+00:00

В работе доказана разрешимость задачи кратной интерполяции и, как следствие, задачи Абеля — Гончарова в ядре оператора свертки, когда нулевая последовательность характеристической функции оператора свертки и узловые точки, являющиеся нулями целой функции, лежат в некоторых углах комплексной плоскости, при этом узлы являются кратными.

Cуществование конуса распространения для одномерного волнового интегро-дифференциального оператора с дробно-экспоненциальной функцией памяти

2025-03-22T08:20:59+00:00

Исследуется линейный вольтерров интегро-дифференциальный оператор, который представляет собой одномерный волновой линейный дифференциальный оператор с частными производными, возмущенный интегральным оператором вольтеровой свертки. Функция ядра интегрального оператора представляет собой сумму дробно-экспоненциальных функций (функций Работнова) с положительными коэффициентами. Устанавливается, что носитель фундаментального решения исследуемого интегро-дифференциального оператора локализован в конусе распространения соответствующего одномерного волнового дифференциального оператора. Соответствующее вольтеррово интегро-дифференциальное уравнение описывает колебания одномерного вязкоупргугого стержня, процесс распространения тепла в средах с памятью (уравнение Гуртина — Пипкина) и имеет ряд других важных приложений.

Задача Коши с суммируемыми начальными функциями для параболических уравнений со множественными пространственными сдвигами

2024-11-27T04:40:24+00:00

Рассматривается задача Коши для параболических дифференциально-разностных уравнений со множественными пространственными сдвигами в младших членах. Функция в начальном условии задачи полагается суммируемой. Решение задачи строится в форме свертки ядра параболического уравнения с начальной функцией. Исследуется поведение и гладкость решения и его производных при больших значениях времени.

О новых представлениях значений дзета-функции Римана в нечетных точках и связанных с ними чисел

2025-06-05T15:32:03+00:00

Пусть $\zeta(s)$ и $\beta(s)$ — дзета-функция Римана и бета-функция Дирихле. В работе методами спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов, порождённых в гильбертовом пространстве $\mathcal{L}^2[0,\pi]$ выражением $l[y]=-y''-a^2y$, где $a$ - параметр, и граничными условиями Дирихле, для некоторых определённых линейных комбинаций чисел $\zeta(2n+1)$ и $\beta(2n)$ получены новые представления в виде рядов, общий член которых содержит логарифмы. Из них, в частности, следуют хорошо известные и некоторые новые представления этих линейных комбинаций в виде сумм достаточно быстро сходящихся рядов, общий член которых содержит $\zeta(2n)$. Полученные результаты применяются к различным представлениям постоянных Каталана $\beta(2)$ и Апери $\zeta(3)$.

О наилучшем приближении функций в пространстве Бергмана $B_{2}$

2024-10-07T09:36:48+00:00

В работе изучаются экстремальные задачи, связанные с наилучшим полиномиальным приближением аналитических в единичном круге функций в гильбертовом пространстве Бергмана $B_2$. Найдены точные неравенства для наилучшего приближения произвольной аналитической в единичном круге функций $f\in B_2$ алгебраическими комплексными полиномами $p_n\in \mathcal{P}_n$ посредством усреднённого значения модуля непрерывности $\omega(f^{(r)},t)_{B_2}$ производной $r$-го порядка $f^{(r)}$ в пространстве $B_2$. Введён класс $W^{(r)}_2(\omega,\Phi)$ аналитических в единичном круге функций, усреднённое значение модуля непрерывности производной $f^{(r)}$ которых удовлетворяет неравенству $$\int\limits_{0}^{u}\omega^2(f^{(r)},t)_{B_2}\sin\frac{\pi}{u}t d t\leq \Phi^2(u), \qquad 0\leq u\leq 2\pi.$$ При определённых ограничениях на мажоранту $\Phi$ для введённого класса функций вычислены точные значения различных $n$-поперечников. При решении указанных задач используются методы решения экстремальных задач в нормированных пространствах и используется метод оценки $n$-поперечников, разработанный В.М.Тихомировым.

Задача Коши и обратная задача для интегро-дифференциальных уравнений типа Герасимова с регулярным ядром

2025-03-05T15:29:03+00:00

Исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи Коши для линейного регулярного интегро-дифференциального уравнения типа Герасимова в банаховом пространстве. Это позволило получить критерий корректности для соответствующей линейной обратной задачи с постоянным неизвестным коэффициентом в правой части.
Абстрактные результаты использованы при рассмотрении прямой и обратной начально-краевых задач для класса уравнений с интегро-дифференциальным оператором типа Герасимова по времени и полиномами от оператора Лапласа по пространственным переменным, а также при изучении однозначной разрешимости задачи Коши и линейной обратной задачи для системы обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений. Регулярное ядро интегрального оператора в рассмотренной системе является существенно операторнозначным и задает в уравнениях системы линейные комбинации различных интегро-дифференциальных операторов.

Бифуркации периодических колебаний в динамических системах с однородными нелинейностями

2025-07-14T08:21:38+00:00

Статья посвящена исследованию задач о бифуркации циклов и о бифуркации на бесконечности для динамических систем с малым параметром, нелинейности которых содержат однородные полиномы четной или нечетной степени, а невозмущенное уравнение имеет континуум периодических решений. Предлагаются новые необходимые и достаточные условия указанных бифуркаций, получены формулы для приближенного построения бифуркационных решений, проведен анализ их устойчивости. Показано, что бифуркация циклов типична только для систем с однородностями нечетной степени, а бифуркация на бесконечности — только для систем с однородностями четной степени. Показана взаимосвязь этих бифуркаций с классической бифуркацией Андронова — Хопфа.

Analysis and numerical simulation of dynamic contact problem with friction in thermo-viscoelasticity

2024-11-25T06:25:47+00:00

The focus of our study is a dynamic frictional contact model that involves a viscoelastic body and a conductive foundation. We use Coulomb's law to describe the frictional behavior, while a normal compliance model is employed to simulate the contact. We formulate a variational formulation for the problem, and we establish the existence of its unique weak solution using the Banach fixed point theorem. We propose a fully discrete scheme, using the finite element method for the spatial approximation and the Euler scheme for the discretization of the time derivatives. The errors on the solutions are derived, and the linear convergence is obtained under suitable regularity hypotheses. Some numerical simulations are included to show the performance of method.