Уфимский математический журнал

О задаче Зарембы для линейного эллиптического уравнения второго порядка со сносом в случае предельного показателя

2024-07-03T08:27:00+00:00

Установлена однозначная разрешимость задачи Зарембы с однородными краевыми условиями Дирихле и Неймана для неоднородного линейного равномерно эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме с измеримыми коэффициентами и с младшими членами. Задача рассматривается в ограниченной строго липшицевой области. Предполагается, что область содержится в $n$-мерном евклидовом пространстве, где $n\ge2$. Если $n>2$, то младшие коэффициенты принадлежат пространству Лебега с предельным показателем суммируемости из теоремы вложения Соболева. Если $n=2$, то младшие коэффициенты суммируемы в любой степени, большей двух. Помимо однозначной разрешимости задачи установлена и энергетическая оценка для её решения.

Уточнение асимптотической оценки типа Полиа для ряда Дирихле, сходящегося в полуплоскости

2024-07-09T11:25:29+00:00

Исследуется асимптотическое поведение ряда Дирихле с положительными показателями, сходящегося в левой полуплоскости, на дуге ограниченного наклона, оканчивающейся на прямой сходимости. В статье получены условия, при выполнении которых для суммы ряда Дирихле выполняется асимптотическое равенство типа Полиа на множестве, верхняя плотность которого равна единице.

В 2023 году нами были получены результаты, относящиеся к двойственным случаям. Было показано, что равенство типа Полиа справедливо на асимптотическом множестве положительной верхней плотности, зависящей от коэффициента наклона (постоянной Липшица) дуги.

В настоящей статье доказана единая теорема, охватывающая оба эти случая, причем показано, что асимптотическое множество
имеет верхнюю плотность, в точности равную единице.

Преобразования Бореля функций из параметризованного семейства гильбертовых пространств

2024-06-27T14:02:55+00:00

Рассматриваются гильбертовы пространства целых функций
\begin{equation*}
P_\beta (D)=\left \{F\in H(\mathbb{C}):\ \|F\|^2:=\int\limits_0^{2\pi }\int\limits_0^\infty \frac {|F(re^{i\varphi })|^2drd\Delta (\varphi )}{K(re^{i\varphi })r^{2\beta }}<\infty \right \},
\end{equation*}
где $D$ --- ограниченная выпуклая область на комплексной плоскости,
\begin{align*}
&K(\lambda )=\|e^{\lambda z}\|^2_{L_2(D)}=\int _D|e^{\lambda z}|^2dm(z),\quad \lambda \in \mathbb C,
\\
&h(\varphi)=\max _{z\in \overline D} \hbox{Re}\, ze^{i\varphi },\quad \varphi \in [0;2\pi ],
\\
&\Delta (\varphi )=h(\varphi )+\int _{0}^\varphi h(\theta )d\theta ,\quad \varphi \in [0;2\pi ].
\end{align*}
Интерес к этим пространствам вызван тем, что $P_0(D)$ --- это пространство преобразований Лапласа линейных непрерывных функционалов на пространстве Бергмана $B_2(D)$, а $P_{\frac 12}(D)$ --- пространство преобразований Лапласа линейных непрерывных функционалов на пространстве Смирнова $E_2(D)$. В статье для параметров $\beta \in \left (-\frac 12;\frac 32\right )$ дано полное описание пространств преобразований Бореля функций из пространств $P_\beta (D)$. Таким образом, пространства Бергмана и Смирнова вкладываются в шкалу гильбертовых пространств, что, по мнению авторов, должно позволить применить теорию гильбертовых шкал для исследования задач в этих пространствах.

Эффективная факторизация в некоторых классах гельдеровских матриц-функций третьего порядка

2024-05-01T11:33:17+00:00

Рассмотрена однородная задача линейного сопряжения на простом гладком замкнутом контуре, разделяющем плоскость комплексного переменного на две области, для трехмерного кусочно--аналитического вектора. Каждому решению задачи ставится в соответствие тройка функций, являющихся отношениями предельных значений на контуре из соответствующих областей компонент этого решения. Указаны соотношения, связывающие элементы $H$-непрерывной матрицы-функции задачи линейного сопряжения, обеспечивающие существование двух ее решений, для которых соответствующие компоненты троек пропорциональны, а сама задача допускает решение в замкнутой форме.

Существование и единственность решений внешней задачи Зарембы для эллиптических уравнений с мерозначным потенциалом

2024-07-22T11:41:18+00:00

Во внешности шара в пространстве $\mathbb{R}^n$ рассматриваются задачи Зарембы и Неймана для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с мерозначным потенциалом. Доказаны существование и единственность энтропийного решения задач Зарембы и Неймана.

Теоремы вложения для подпространств пространства быстро убывающих функций

2024-07-31T08:54:05+00:00

С помощью семейства ${\mathfrak M} = \{{M_{\nu}}\}_{\nu=1}^{\infty}$
раздельно радиальных выпуклых функций $M_{\nu}: {\mathbb R}^n \to {\mathbb R}$ определено пространство $GS({\mathfrak M})$ типа $W_M$, представляющее собой естественное обобщение пространства $W_M$, введённого в работах Б.Л. Гуревича, И.М. Гельфанда и Г.Е. Шилова. Каждой функции $M_{\nu}$ по определённому правилу ставится в соответствие неотрицательная раздельно радиальная выпуклая функция $h_{\nu}$ в ${\mathbb R}^n$.
Свойства функций $h_{\nu}$ позволяют по семейству ${\mathcal H} = \{{h_{\nu}}\}_{\nu=1}^{\infty}$ образовать пространство ${\mathbb S}_{\mathcal H}$ - внутренний индуктивный предел счётно--нормированных пространств ${\mathbb S}(h_{\nu})$ функций $f \in C^{\infty}({\mathbb R}^n)$ с конечными нормами
$$
\| f \|_{m, \nu}
= \sup_{x \in {\mathbb R}^n, \beta \in {\mathbb Z}_+^n, \atop \alpha \in {\mathbb Z}_+^n: \| \alpha \| \leq m}
\frac {\| x^{\beta}(D^{\alpha}f)(x) \|}{\beta! e^{-h_{\nu}(\beta)}}, \qquad m \in {\mathbb Z}_+ .
$$

Рассматривается задача о нахождении условий на ${\mathfrak M}$, при выполнении которых имеют место непрерывные вложения друг в друга пространства $GS({\mathfrak M})$ и пространства~${\mathbb S}_{\mathcal H}$.

Операторные оценки для непериодической перфорации вдоль границы: усредненное условие Дирихле

2024-07-28T12:37:49+00:00

В работе рассматривается краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами в многомерной области, перфорированной малыми полостями вдоль границы. Предполагается, что размеры всех полостей одного порядка, а их форма и распределение вдоль границы могут быть произвольными. Полости произвольно поделены на два множества. На границах полостей первого множества ставится условие Дирихле, на границах полостей второго множества - третье нелинейное граничное условие. На границе, вдоль которой устроена перфорация, ставится условие Неймана. Предполагается, что полости с условием Дирихле не слишком малые и расположены достаточно часто. Показано, что в таких предположениях при усреднении полости пропадают, а на границе возникает условие Дирихле. Наш основной результат - оценки разности решений усредненной и возмущенной задач в $W_2^1$-норме равномерно по $L_2$--норме правой части.

Ряд краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу с двумя линиями вырождения

2024-09-05T04:43:01+00:00

В настоящей статье вводится новое уравнение в частных производных, которое является расширением известного уравнения Эйлера-Дарбу. На основании доказанных свойств решения введённого уравнения найдены общие решения в явном виде для различных значений параметров, доказаны теоремы существования и единственности. Основываясь на общих решениях введённого уравнения, решаются задачи Коши и видоизменённые задачи Коши в области верхнего прямоугольного треугольника. Выведены явные решения. Доказаны теоремы существования и единственности решения поставленных задач.

Reconstruction of potential of discontinuous Sturm-Liouville operator from spectral data

2024-11-06T13:22:42+00:00

We deal with the inverse spectral problem of the discontinuous Sturm-Liouville operator. The aim is we to determine the potential $q(x)$ and the boundary constant $h$ by a given spectral data. We provide the algorithm for reconstructing the potential $q(x)$ from the spectral data.

Construction of exact solutions of nonlinear PDE via dressing chain in 3D

2024-10-23T09:55:55+00:00

The duality between a class of the Davey-Stewartson type coupled systems and a class of two--dimensional Toda type lattices is discussed. A new coupled system related to the recently found lattice is presented. A method for eliminating nonlocalities in coupled systems by virtue of special finite reductions of the lattices is suggested. An original algorithm for constructing explicit solutions of the coupled systems based on the finite reduction of the corresponding lattice is proposed. Some new solutions for coupled systems related to the Volterra lattice are presented as illustrative examples.