Уфимский математический журнал

О вырождающихся эллиптических операторах недивергентного вида в ограниченной области

2024-10-28T16:16:16+00:00

В работе доказываются некоторые неравенства, в которых снизу оценивается норма значения эллиптического оператора недивергентного вида в ограниченной области со степенным вырождением вдоль всей границы. Подобные операторы ранее изучались в случае, когда они изначально задавались в дивергентной форме или приводились к такой форме. В отличие от этого, коэффициенты исследуемых нами операторов, в общем случае, недифференцируемы и их нельзя привести к дивергентному виду. Только в заключительной части работы с целью изучения разрешимости соответствующих дифференциальных уравнений допускается дифференцируемость коэффициентов оператора и изучается соответствующий сопряжённый оператор.

Сначала в работе изучаются вырождающиеся эллиптические операторы общего вида и для них доказывается неравенство, в котором сумма нормы значения оператора и норма самой функции с некоторым степенным весом в пространстве $L_2$ снизу оценивается через норму самой функции в весовом пространстве типа Соболева. Затем рассматривается случай, когда исследуемые эллиптические операторы являются слабо позитивными. Для таких операторов доказано неравенство, в котором снизу оценивается реальная часть скалярного произведения значения оператора и самой функции. В последнем разделе работы допускается, что слабо позитивные эллиптические операторы имеют сильное вырождение вдоль всей границы области. Для таких операторов, содержащих параметр $\lambda$, сначала доказывается неравенство, в котором норма значения оператора снизу оценивается через норму самой функции в основном функциональном пространстве, затем такое неравенство доказывается для сопряж```ённого оператора и как следствие выводится результат об однозначной разрешимости соответствующего дифференциального уравнения.

Разработанная в работе техника основана на распространении некоторых известных результатов для эллиптических операторов с постоянными коэффициентами на случай операторов с вырождением с помощью вспомогательных интегральных неравенств.

Критерий фундаментального принципа

2026-01-19T08:30:36+00:00

В работе изучаются подпространства функций аналитических в выпуклой области и инвариантных относительно оператора дифференцирования. Исследуется задача фундаментального принципа — представления всех функций из инвариантного подпространства рядами экспоненциальных мономов. Эти экспоненциальные мономы являются собственными и присоединенными функциями оператора дифференцирования в инвариантном подпространстве. Получен простой геометрический критерий фундаментального принципа. Получен также аналогичный критерий разрешимости интерполяционной задачи в пространствах целых функций экспоненциального типа.

Ряды Фурье и дельта-субгармонические функции на открытом полукольце

2025-12-15T16:18:42+00:00

Рассматривается класс $SK(R)$ субгармонических функций на неограниченном открытом полукольце
$$D_+(R)=\{z:\,|z|>R,\ Im\,z>0\},$$ которые имеют на каждом полукольце
$$D_+(R_1,R_2)=\{z:\, R<R_1<|z|<R_2<\infty,\ Im\,z>0\}$$
положительную гармоническую мажоранту. Вводится класс $JS(R)$ субгармонических функций на $D_+(R)$, предельные значения которых на вещественной границе $D_+(R)$ неположительные. Получены некоторые свойства функций из классов $SK(R)$ и $JS(R)$. Класс $\delta S(R)$ дельта--субгармонических функций на $D_+(R)$ определяется как разность классов $SK(R)$ или $JS(R)$:
$$\delta S(R)=SK(R)-SK(R)=JS(R)-JS(R).$$ Для функции $v\in \delta S(R)$ вводится характеристика роста $T_R(r,v)$, отличающаяся от характеристик, используемых для функций, определённых на верхней полуплоскости. Она определяет рост функции в окрестности полуокружности $L_R=\{Re^{i\theta}:0\leq\theta\leq\pi\}$. Для произвольной функции роста $\gamma$ (неограниченной неубывающей положительной функции, определённой на вещественной полуоси $R_+=\{r:r>0\}$) мы определяем класс $\delta S_{L_R}(R,\gamma)\subset\delta S(R)$ дельта--субгармонических функций $v$ конечного $\gamma$--типа на $D_+(R)$ в окрестности полуокружности $L_R$ как
$$\displaystyle T_R(r,v)\leq A\gamma\left(\frac{B}{r-R}\right)$$ для всех $R<r<2R$ при некоторых положительных $A$ и $B$, зависящих от $v$, но не зависящих от $r$. Получены критерии принадлежности функции $v$ классу $\delta S_{L_R}(R,\gamma)$ в терминах её коэффициентов Фурье.

Неравенства типа Колмогорова для аналитических в круге функций

2024-12-09T09:17:43+00:00

В статье получен ряд неравенств типа Колмогорова для аналитических в круге произвольного радиуса $R$
функций, принадлежащих пространству Харди $H_{q,R}$ $(1\leq q\leq\infty,\,R>0)$, и даны некоторые их применения в экстремальных задачах наилучших полиномиальных приближения.

Convolution kernel identification problem for multi-dimensional time fractional diffusion-wave equation in bounded domain

2025-08-30T03:09:32+00:00

We study the inverse problem on determining the convolution kernel of integral term in an initial boundary value problem for a multi-dimensional time fractional diffusion-wave equation with the uniformly elliptic operator in a divergent form. Moreover, as an overdetermination condition, a single observation at the point $x_0\in \Omega$ of the diffusion-wave process serves, where $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ is a bounded domain. By the Fourier spectral method and fractional integro-differentiating technics the inverse problem is reduced to a convolution nonlinear Volterra integral equation of the second kind. The fixed point argument proves the local existence and global uniqueness results. Also the stability estimate for solution to inverse problem is obtained.

A universal property of semigroup $C^*$-algebras for free products of semigroups of rationals

2025-02-01T14:17:40+00:00

The paper deals with the left reduced semigroup $C^*$-algebras $C^*_\lambda(Q)$ for non-abelian cancellative semigroups $Q$ associated with finite tuples $(M_1,M_2, \ldots , M_n)$ of sequences $M_i$ of arbitrary natural numbers. Such a semigroup $Q$ is defined to be the free product of semigroups consisting of positive numbers in the ordered groups of rationals $Q_{M_i}$ generated by the reciprocals for products of the terms in $M_i$. The $C^*$-algebra $C^*_\lambda(Q)$ is generated by the left regular representation of $Q$. It is shown that each semigroup $Q$ is not left amenable but its full and left reduced semigroup $C^*$-algebras are isomorphic and nuclear. We establish that every $C^*$-algebra $C^*_\lambda(Q)$ can be characterized as a universal $C^*$-algebra defined by a countable set of isometries satisfying a countable family of polynomial relations. To prove this result, we make use of the universal property of $C^*$-algebra $C^*_\lambda(Q)$ considered as the inductive limit for the inductive sequence of Toeplitz — Cuntz algebras associated with the tuple $(M_1,M_2, \ldots , M_n)$.

New Hermite — Hadamard type integral inequalities via weighted operators

2025-03-22T09:04:29+00:00

In this article we demonstrate new integral inequalities of
the Hermite — Hadamard type for differentiable functions, which are $(h,m)$-convex of the second type. We show that many known results are particular cases of
ours.

Problem of determining convolution kernel for hyperbolic integro-differential equation in bounded domain

2024-12-03T05:23:17+00:00

We consider the inverse problem on determining the kernel of an integral term in an integro-differential equation. The problem of determining the memory kernel in the wave process is reduced to a nonlinear Volterra integral equation of the first kind of convolution type, then over determination condition it brings to the Volterra integral equation of the second kind. The method of contraction maps proves the unique solvability of the problem in the space of continuous functions with weight norms, and an estimate of the conditional stability of the solution is obtained.