Уфимский математический журнал

Памяти Мукминова Фарита Хамзаевича

2025-08-13T10:38:14+00:00

Размерности произведений Рисса и плюригармонических мер

2024-11-06T16:04:21+00:00

На единичной сфере из $\mathbb{C}^n$, $n\geq 2$, рассматриваются произведения Рисса, порожденные полиномами Рыля — Войтащика. Получена оценка снизу для энергетической размерности таких произведений Рисса. Из полученного неравенства немедленно следует оценка для хаусдорфовой размерности рассматриваемых произведений. Этот результат также получен иным способом — с помощью известных одномерных оценок и разложения на срез–произведения. Наконец, подобные разложения использованы для точных оценок хаусдорфовой размерности плюригармонических мер на $n$–мерном торе, $n\geq 2$.

О вырожденных решениях эллиптических уравнений второго порядка на плоскости

2024-09-12T09:23:00+00:00

В работе исследуются условия, при которых решение эллиптического уравнения с частными производными второго порядка в единичном круге на плоскости будет вырожденным. Доказано, что всякое вырожденное решение является либо многочленом степени не больше $2$, либо линейной комбинацией константы и логарифма от дробно–рационального выражения. При доказательстве основного результата используется разложение в ряд Тейлора вырожденного решения данного уравнения в произвольной точке и исследование зависимости коэффициентов полученного ряда от коэффициентов при членах более младших степеней того же ряда.

Полуаналитическая аппроксимация нормальной производной потенциала двойного слоя вблизи и на границе двумерной области

2024-08-06T14:37:43+00:00

Нормальные производные потенциала двойного слоя (НП ПДС) задаются на границе области сильно сингулярными интегралами. Поэтому как на самой границе, так и вблизи нее нельзя с удовлетворительной точностью вычислить НП ПДС с помощью традиционных квадратурных формул, позволяющих вычислить НП ПДС с хорошей точностью на достаточном удалении от границы. В настоящей работе получены полуаналитические аппроксимации НП ПДС для двумерного уравнения Лапласа, равномерно сходящиеся с почти кубической скоростью в замкнутой приграничной области, включающей саму границу. Для этого используются точное интегрирование по гладкой компоненте функции расстояния вблизи точки наблюдения, аддитивно–мультипликативный способ выделения особенности и кусочно–квадратичная интерполяция медленно изменяющихся функций. Приведены результаты вычисления НП ПДС в замкнутой приграничной области единичного круга, подтверждающие равномерную почти кубическую сходимость предлагаемых аппроксимаций.

О задаче восстановления оператора Штурма — Лиувилля с двумя замороженными аргументами

2025-03-12T14:45:02+00:00

Обратные спектральные задачи заключаются в восстановлении операторов по их спектральным характеристикам. Задача восстановления оператора Штурма — Лиувилля с одним замороженным аргументом по одному спектру рассматривалась ранее в работах различных авторов. В данной статье исследуется единственность восстановления оператора с двумя замороженными аргументами и различными коэффициентами $p$, $q$ по спектрам двух краевых задач. Данный случай является существенно более трудным, чем случай одного замороженного аргумента, поскольку оператор больше не является одномерным возмущением. Мы докажем, что оператор с двумя замороженными аргументами в общем случае не восстанавливается по двум спектрам. Для единственности восстановления нужно наложить некоторые условия на коэффициенты. Мы предположим, что коэффициенты $p$ и $q$ являются нулевыми на некотором отрезке и докажем теорему единственности. Также мы получим формулы регуляризованных следов для двух спектров. Результат сформулирован в терминах сходимости определенного ряда, что позволяет избежать требования гладкости коэффициентов.

Об орбитах в $ \mathbb{ C}^4 $ 7–мерных алгебр Ли, имеющих две абелевы подалгебры

2024-11-13T05:42:29+00:00

Статья связана с задачей описания голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей многомерных комплексных пространств на основе свойств соответствующих этим многообразиям алгебр Ли и их нильпотентных и абелевых подалгебр. С использованием классификаций обширного семейства 7–мерных разрешимых неразложимых алгебр Ли ранее авторами статьи были изучены орбиты алгебр, имеющих <<сильные>> коммутативные свойства. В частности было установлено, что
7–мерная алгебра Ли, имеющая абелеву подалгебру размерности 5, не допускает в пространстве $ \mathbb C^4 $ Леви–невырожденных орбит.

В настоящей статье изучены все 82 типа разрешимых неразложимых 7–мерных алгебр Ли, имеющих в точности две 4–мерные абелевы подалгебры и 6–мерный ниль–радикал. Доказано, что для 75 таких типов алгебр любая 7–мерная орбита в $ \mathbb C^4 $ либо вырождена по Леви, либо сводится голоморфным преобразованием к трубчатому многообразию. Представлены все (с точностью до локальных голоморфных преобразований координат) реализации 7 исключительных типов абстрактных алгебр Ли в виде алгебр голоморфных векторных полей в $ \mathbb C^4 $. Для большинства таких реализаций приведены координатные описания орбит, являющихся голоморфно однородными невырожденными вещественными гиперповерхностями этого пространства.

О гомоклинических точках и топологической энтропии непрерывных отображений на одномерных разветвленных континуумах

2024-09-22T09:34:09+00:00

Пусть $X$ – дендроид, $f:X\to X$ – непрерывное отображение, а $p$ – периодическая точка отображения $f$, и пусть существует гомоклиническая точка $x$ в $X$ к периодической точке $p$. В статье изучаются свойства гомоклинической точки $x$ и неустойчивого многообразия периодической точки $p$. Исследуется локальная структура дендроида, при которой из существования гомоклинической точки следует положительность топологической энтропии отображения $f$. В работе также приводятся различия в свойствах гомоклинических точек и неустойчивых многообразий периодических точек непрерывных отображений, заданных на дендроидах, дендритах и конечных деревьях.

On multiple interpolation of periodic complex-valued functions

2024-10-31T08:55:57+00:00

We obtain fully constructive results on construction of trigonometric interpolation polynomials with multiple nodes. We construct polynomials interpolating periodic complex-valued functions of a real variable. The polynomials are represented in general form and in the form of expansions over fundamental polynomials. We provide examples and discuss unresolved problems.

Multiplicity of solutions for resonant discrete $2n$-th order periodic boundary value problem

2024-10-04T10:02:17+00:00

We examine a class periodic boundary value problems for a discrete equation of order $2n$. We demonstrate the existence of multiple solutions by using the critical point theory and variational methods. Additionally, we consider two examples, in which we discuss the fundamental characteristics of the multiplicity of solutions.

Dynamical systems of quadratic operators on set of idempotent measures

2024-07-09T15:45:38+00:00

We consider quadratic operators, which map the $n$–dimensional simplex of idempotent measures into itself. We introduce the concept of Volterra quadratic operator on the simplex of idempotent measures and provide some general properties of such operators.

We also consdier a special Volterra quadratic operator and provide a comprehensive analysis of the dynamical system generated by this operator. Moreover, the dynamical systems generated by general Volterra operators defined on 2 and 3–dimensional simplices of idempotent measures are studied. For each case, we find fixed points and limits of trajectories.

On basic summability in $\mathbb{R}$

2024-09-09T09:11:48+00:00

The paper deals with the concept of basic summability of residue function of interval function, which is a synonym for its differential form. As one comprehensive concept, it includes not only all known concepts of integrability, such as Newton's, generalized Riemann and generalized Riemann — Stieltjes integrability, but also arithmetic series.