Об одном классе гиперболических уравнений с интегралами третьего порядка

Аннотация

Рассматривается проблема Гурса, посвященная классификации нелинейных гиперболических уравнений второго порядка интегрируемых методом Дарбу. В работе исследуется класс гиперболических уравнений с $y$-интегралом второго порядка, сводящихся дифференциальной подстановкой к уравнениям с $y$-интегралом первого порядка. Следует отметить, что уравнения Лэне содержатся в классе рассматриваемых нами уравнений. В работе приведен $y$-интеграл второго порядка для второго уравнения Лэне и найдена дифференциальная подстановка, связывающая это уравнение с одним из уравнений Мутара. Рассмотрен класс нелинейных гиперболических уравнений, обладающих $y$-интегралами первого порядка и $x$-интегралами третьего порядка. Получены три условия, при выполнении которых уравнения данного класса обладают интегралами первого и третьего порядка. Найден вид таких уравнений и получены формулы для $x$- и $y$-интегралов. Также в статье приведены дифференциальные подстановки, связывающие уравнения Лэне.