Рост целых функций экспоненциального типа и характеристики распределений точек вдоль прямой на комплексной плоскости

Аннотация

По классической теореме Вейерштрасса – Адамара – Линделефа для любого распределения точек конечной верхней плотности на комплексной плоскости найдется ненулевая целая функция экспоненциального типа, обращающаяся в нуль на этом распределении точек с учетом кратности. В начале 1960-х гг. в совместной работе П. Мальявена и Л.А. Рубела была полностью решена следующая задача. Пусть заданы два распределения точек конечной верхней плотности на положительной полуоси. При каких соотношениях между этими распределениями точек для любой ненулевой целой функции экспоненциального типа, обращающейся в нуль на одном из распределений, найдется ненулевая целая функция экспоненциального типа, обращающаяся в нуль на другом распределении точек, и с модулем на мнимой оси не большим, чем модуль первой функции? Полное решение этой задачи, восходящей к работам Ф. Карлсона, Т. Карлемана, М. Картрайт, Л. Шварца, Ж.-П. Кахана и многих др., было дано ими в терминах так называемых логарифмических характеристик распределений точек, выражающихся через обратные величины к точкам-числам из этих распределений точек. В нашей статье мы переносим эти результаты на комплексные распределения точек, отделенные парой вертикальных углов сколь угодно малого раствора от мнимой оси, используя развитие логарифмических характеристик для комплексных распределений точек. При этом рассмотрены три типа возможных ограничений на рост вдоль мнимой оси: от очень жестких, как П. Мальявена и Л.А. Рубела, так и менее ограничительных, как в предшествующих работах второго соавтора. Основные полученные результаты имеют завершенную форму и сформулированы как критерии.