Совместные оценки корней и тейлоровских коэффициентов целой функции

Аннотация

В статье для целой функции $f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} f_n z^n$ указаны асимптотические и равномерные границы соизмеримости скорости роста корней и убывания тейлоровских коэффициентов относительно друг друга. Отправной точкой этим исследованиям послужило следующее утверждение Адамара: если коэффициенты ряда удовлетворяют неравенству $|f_n|\leqslant\varphi(n)$ с некоторой функцией $\varphi(x),$ то модули корней растут быстрее, чем $1/\sqrt[n]{\varphi(n)}.$ В работе улучшены полученные в последнее время оценки снизу совместного роста корней и коэффициентов через максимальный член ряда Тейлора функции $f(z)$ или считающую функцию ее корней. Привлечение спрямленных по Адамару коэффициентов ряда дало возможность установить соответствующие двусторонние оценки. Методами, развивающими классические идеи, найдена численная зависимость таких оценок от величин лакун степенного ряда, представляющего целую функцию. В частности, выделены случаи асимптотических равенств, связывающих корни и коэффициенты целой функции. Полученные оценки точны и усиливают известные результаты других авторов.