Произведения собственных функций и вронскианы

Аннотация

Рассматриваются новые вронскианные тождества, открытые недавно в г. Майкопе. Обсуждаются связи этих тождеств с теорией интегрируемых систем и с общей теорией обратимых преобразований Дарбу для линейных дифференциальных операторов с одной независимой переменной. Объектами изучения в данной работе являются однородные относительно группы растяжений отношения вронскианов двух различных порядков $N$ и $N'>N$. Элементы первого вронскиана порядка $N$ являются произвольными функциями, что существенно расширяет возможности теории, а элементы второго вронскиана образованы произведениями заданной степени $n\ge2$ этих функций. Группа растяжений позволяет перейти к проективным координатам в рассматриваемом отношении вронскианов и определить, в частности, вложение симметрических функций и многочленов в рассматриваемую теорию. Наиболее простым оказывается, естественно, случай $N=2,$ в котором второй вронскиан из произведений оказывается степенью исходного вронскиана и, таким образом, рассматриваемое отношение вронскианов вообще не зависит от выбора элементов основного вронскиана второго порядка. В этом случае получены также новые уравнения для кубов и т.д. собственных функций одномерного оператора Шредингера, обобщающие известные уравнения для квадратов, связанное с производной Шварца и КдФ иерархией. Случай $N=3$ представляется чрезвычайно интересным с различных точек зрения, но его исследование требует дальнейшего развития методов проективной теории вронскианов с использованием логарифмических производных и их высших аналогов.