Теорема об одном радиусе на сфере с выколотой точкой

Аннотация

Рассматриваются локальные аспекты периодичности в среднем на двумерной сфере $\mathbb{S}^2$. Согласно классическим свойствам периодических функций всякая непрерывная на единичной окружности $\mathbb{S}^1$ функция, имеющая нулевые интегралы по любому интервалу фиксированной длины $2r$ на $\mathbb{S}^1$, является тождественным нулем тогда и только тогда, когда число $r/\pi$ иррационально. Кроме того, не существует ненулевой непрерывной функции на $\mathbb{R}$, имеющей нулевые интегралы по всем отрезкам фиксированной длины и их границам. Целью статьи является исследование подобных явлений на сфере в $\mathbb{R}^3$ с выколотой точкой. Изучаются гладкие функции на $\mathbb{S}^2\setminus(0,0,-1)$, имеющие нулевые интегралы по всем допустимым «сферическим шапочкам» и окружностям одного фиксированного радиуса. Для таких функций установлена новая теорема об одном радиусе, влекущая инъективность соответствующего интегрального преобразования (Теорема 2.1). Получено также усиление известной теоремы Унгара о сферических средних, дающей необходимые и достаточные условия принадлежности «сферической шапочки» классу множеств Помпейю на $\mathbb{S}^2$ (Теорема 4.1). Доказательства основных результатов основаны на описании множества решений $f\in C^{\infty}(\mathbb{S}^2\setminus(0,0,-1))$ уравнения свертки $(f\ast \sigma_r)(\xi)=0$, $\xi\in B_{\pi-r}$, где $B_{\pi-r}$ – открытый геодезический шар радиуса $\pi-r$ с центром в точке $(0,0,1)$ на $\mathbb{S}^2$, $\sigma_r$ – дельта-функция, сосредоточенная на $\partial B_r$. Ключевым инструментом для описания $f$ являются ряды Фурье по сферическим гармоникам на $\mathbb{S}^1$. Показано, что коэффициенты Фурье $f_k(\theta)$ функции $f$ представимы рядами по функциям Лежандра $P_\nu^{-|k|}(\cos \theta)$, связанными с нулями $\nu$ функции $P_\nu(\cos r)$. Теоремы 2.1 и 4.1 являются следствием указанного представления функции $f$ и соответствующих свойств функций Лежандра. Результаты, полученные в работе, можно использовать при решении задач, связанных с шаровыми и сферическими средними.